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数学公式

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  数学公式是人们在研究自然界物与物之间时发现的一些联系,并通过一定的方式表达出来的一种表达方法。是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系,它确切的反映了事物内部和外部的关系,是我们从一种事物到达另一种事物的依据,使我们更好的理解事物的本质和内涵。

  2,无法使用操作定义(例如,外人也可以检验的通用变量、属于、或对象)。

  3,无法满足简约原则,即当众多变量出现时,无法从最简约的方式求得答案。

  5,缺乏边界条件:严谨的科学理论在限定范围上定义清晰,明确指出预测现象在何时何地适用,何时何地不适用。

  长方形的周长 = (长+宽)×2 = 2(a+b) = (a+b)×2

  圆的周长 = 圆周率×直径 = π d = 圆周率×半径×2 = 2 π r

  (1)1公里=1千米 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米

  (2)1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米

  (3)1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方厘米=1000立方毫米

  (8)1世纪=100年 1年=365天(平年)、366天(闰年) 1天=24小时 1小时=60分钟=3600秒 1分钟=60秒 1秒=1000毫秒

  根据谓词逻辑的语义推导规则,语义应该具有一致性,就是对于一个命题逻辑语句集f,当且仅当至少存在这样一种解释i,f的一切元素在i之下都是真的,那么,f是语义一致的 。在命题逻辑语义学内,一个赋值不能同时把真和假给予某个命题原子式。在命题逻辑语义学中,在同一解释下,一个集合不能既属于某个谓词的外延又不属于该谓词的外延。

  23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

  25 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

  27 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线 △ABC中,作∠A的角平分线交BC于D,此时AB:AC=BD:CD

  34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

  37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

  38 直角三角形斜边上的中线 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

  40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

  43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上

  44逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2

  46勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形

  47角角边(aas)有两条边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等

  54推论 夹在两条平行线 平行四边形的对角线 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

  65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线菱形面积=对角线乘积的一半,即s=(a×b)÷2

  70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线 关于中心对称的两个图形是全等的

  72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分

  73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称

  75等腰梯形的两条对角线等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

  78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线 经过梯形一腰的中点与底平行的直线 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半

  82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 l=(a+b)÷2 s=l×h

  83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d

  84 (2)合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

  85 (3)等比性质 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

  86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边

  89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

  90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似

  95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似

  96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线 相似三角形周长的比等于相似比

  99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

  100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

  106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

  111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

  115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

  117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等

  118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所 对的弦是直径

  119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

  120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角

  122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

  124推论1 经过圆心且垂直于切线 经过切点且垂直于切线切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线圆的外切四边形的两组对边的和相等

  130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线如果两个圆相切,那么切点一定在连心线①两圆外离 d﹥r+r ②两圆外切 d=r+r

  ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

  140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

  143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,

  sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))

  cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)

  tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)

  sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))

  cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))

  tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)

  sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))

  cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))

  tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)

  已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S= √[p(p - a)(p - b)(p - c)]

  已知三角形三边a、b、c,则S= √{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶) 注:秦九韶公式与海伦公式等价

  c d 1 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里 e f 1

  ABC选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值, 如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!】

  S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3

  还有顶点公式y = a(x+h)* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))

  椭圆周长 L=π(a+b)(1 + λ^2/4 + λ^4/64 + λ^6/256 + 25λ^8/16384 + ......)

  椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

  以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体,公式为用。

  圆柱侧面积 S=c*h=2π*h圆锥侧面积 S=1/2*c*l=π*r*l

  弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r 0扇形面积公式 s=1/2*l*r

  斜棱柱体积 V=SL 注:其中,S是直截面面积, L是侧棱长

  斜棱柱体积 V=SL 注:其中,S是直截面面积, L是侧棱长

  长方体的表面积=(长×宽+宽×高+高×长)×2 s=2〔ab+bc+ca〕

  △0 则方程有两个不相等的两实根.△0 则方程有两共轭复数根d(没有实根)

  等差数列前n项和:Sn=[n(A1+An)]/2 =nA1+[n(n-1)d]/2

  等比数列前n项和:Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n (n≠1)

  1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

  1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2

  1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

  z1-z2-...-zn≤z1+z2+...+zn≤z1+z2+...+zn

  z1-z2-...-zn≤z1-z2-...-zn≤z1+z2+...+zn

  z1-z2-...-zn≤z1±z2±。..±zn≤z1+z2+...+zn

  p(A)=p(A/B)p(B)+p(A/C)p(C)+p(A/D)p(D)

  好以上例中已知A事件发生了,用柏努力公式可以求得是B因素造成的概率是多大,C因素,D因素同样也求.

  P(AB)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB包含的基本事件数/B包含的基本事件数

  性质2(有限可加性).当n个事件A1,…,An两两互不相容时:P(A1∪。..∪An)=P(A1)+...+P(An).

  性质4.当事件A,B满足A包含于B时:P(BnA)=P(B)-P(A),P(A)≤P(B).

  性质7(加法公式).对任意两个事件A和B,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

  从n个不同的元素里,每次取出m个元素,不管以怎样的顺序并成一组,均称为组合。所有不同组合的种数

  设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ ,使得当x满足不等式0x-x。δ 时,对应的函数值f(x)都满足不等式:

  定义:f(x)=y=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x=dy/dx

  ⑥ (a^x) = (a^x) * Ina (ln为自然对数)

  ⑧ (log a x)=1/(xlna) ,(a0且a不等于1)

  (arccosh(x))=1/sqrt(x^2-1) (x1)

  (arctanh(x))=1/(1+x^2) (x1)

  (arccoth(x))=1/(1-x^2) (x1)

  复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数(链式法则):

  [∫(上限h(x),下限g(x)) f(x)dx]’=f[h(x)]·h(x)- f[g(x)]·g(x)

  (2)在点a的去心邻域内,f(x)及F(x)都存在且F(x)≠0

  (3)当x→a时lim f(x)/F(x)存在(或为无穷大),那么

  x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f(x)/F(x)。

  (2)当xN时f(x)及F(x)都存在,且F(x)≠0

  (3)当x→∞时lim f(x)/F(x)存在(或为无穷大),那么

  x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f(x)/F(x)。

  ①在着手求极限以前,首先要检查是否满足0/0或∞/∞型,否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时(不包括∞情形),就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则失效,应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。

  ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具,但是如果仅用洛必达法则,往往计算会十分繁琐,因此一定要与其他方法相结合,比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等。

  当曲线y=f(x)存在二阶导数时,K=y/(1+ y ^2)^(3/2);

  设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分。

  其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

  求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。

  12)∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln(a+x)/(a-x)+c;

  14)∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

  ∫u(x)·v(x) dx=∫u(x) d v(x)=u(x)·v(x) -∫v(x) d u(x)=u(x)·v(x) -∫u(x)·v(x) dx.

  泰勒中值定理:若f(x)在开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和:

  f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+f(x0)/2!?(x-x0)^2,+f(x0)/3!?(x-x0)^3+……+f的n阶导数?(x0)/n!?(x-x0)^n+Rn

  其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x0)^(n+1)为拉格朗日型的余项,这里ξ在x和x0之间。

  形式为∫f(x) dx (上限a写在∫上面,下限b写在∫下面)。之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数。

  牛顿-莱布尼兹公式:若F(x)=f(x),那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)

  牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。微分方程凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程,就叫做微分方程。

  如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程就叫做常微分方程

  WPS文字、Microsoft Word具有创建数学公式的功能,其中Microsoft Word2010创建步奏如下:

  第1步,打开Word2010文档窗口,切换到“插入”功能区。在“符号”分组中单击“公式”按钮(非“公式”下拉三角按钮)。

  第2步,在Word2010文档中将创建一个空白公式框架,然后通过键盘或“公式工具/设计”功能区的“符号”分组输入公式内容。

  打开WPS文字2013新建文档窗口,点击“插入”功能按钮,点击“公式”按钮,就打开了公式编辑器。

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