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《工程力学》本科教材1pdf

工程力学

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  前 言 作为土木建筑类专业重要的基础课程之一,工程力学与结构力学、钢筋混凝土结构等后 续课程有着密切的联系。为了更好地适应土木建筑类专业的专业特点及 21 世纪高等教育改 革对学生素质和创新能力培养的教学需要,在吸取国内外同类教材经验的基础上,本书在内 容的选取和阐述方法上做了一些必要的调整,主要有如下特点: (1) 优化了刚体静力学的内容体系。按照静力学基本概念、物体受力分析、力系简化理 论、力系平衡理论展开内容,在叙述方法上从一般到特殊,先空间问题后平面问题。 (2) 改革了材料力学的内容体系。形成了以杆件的内力分析、应力与强度计算、变形与 刚度计算、应力状态与应变状态分析、压杆稳定、动载荷*、交变应力*等为主线) 提高起点,精选课程内容。突出主干内容, 降低对次要内容的要求,删除某些枝节 内容,避免冗长的理论叙述;理论部分尽量采用矢量方法分析和描述,增加与工程实际相结 合的例题和习题。全书的编写注重加强对基本概念和基本方法的论述,以及对学生处理工程 实际问题、建立力学模型、研究创新能力的培养。 全书共分 14 章,适用于 80 学时左右的教学,其中理论教学约 70 学时,实验教学约 6 学时,机动约 4 学时。目录中标有星号的章节,是方便使用者根据学时的多少,对内容进行 取舍和调整。书后附有型钢表、部分习题参考答案及参考文献。 参加编写工作的有:长沙理工大学喻小明(第 1 章、第 2 章、第 3 章、第 4 章) 、李学罡(第 5 章、第 6 章、第 8 章正文部分) ,南昌工程学院王筱玲(第 7 章、第 8 章习题部分) ,湘潭大 学张为民(第 9 章、第 10 章) ,南昌工程学院徐春艳(第 11 章) ,山西大学工程学院孟黎清(第 12 章、第 13 章) ,中南林业科技大学罗迎社(第 14 章、附录) 。全书由罗迎社和喻小明统稿, 湖南 电气职业技术学院 曾立星负责全书 图形的审核与绘制工作,曾娜、余敏、王智超、殷水 平、李倩妹、曹诤等参与了书稿 的收集和整理工作。 本教材是湖南省教育厅立项(湘教通[2004]344 号,2004—2006 年) 的教改课题研究内容之 一,湖南省首批省级精品课程 《工程力学》的教学用书。全书由湘潭大学张淳源教授审稿并 提出许多宝贵意见,在此致 以衷心的感谢!在本书的编写过程中,参考了许多文献,这些文 献 已一并在书后列出,在此向这些文献的作者表示诚挚的感谢与敬意 。 因时间仓促,加之编者水平有 限,本书难免有疏漏之处,恳请各位同行和广大读者提出 宝贵意见,以便进行修改完善 。 编 者 2006 年 6 月 目 录 第 1章 静力学基础1 第 3章 力系的平衡36 1.1 静力学基本概念 1 3.1 力系的平衡条件与平衡方程 36 1.2 静力学公理 2 3.1.1 空间力系的平衡条件 1.3 关于力的基本计算 5 与平衡方程 36 1.3.1 力的投影 合力投影定理5 3.1.2 平面力系的平衡条件 1.3.2 力的分解6 与平衡方程 37 1.3.3 力矩7 3.2 力系平衡问题的求解 39 1.3.4 力偶与力偶的性质10 3.2.1 单个物体的平衡问题 39 1.4 物体受力分析 12 3.2.2 物系平衡 静定问题与 1.4.1 约束与约束反力12 超静定问题 42 1.4.2 常见约束类型及其 3.3 习题 48 约束反力12 第 4章 刚体静力学专门问题52 1.4.3 物体受力分析15 4.1 平面桁架 52 1.5 习题 18 4.1.1 理想桁架及其基本假设 52 第 2章 力系简化理论22 4.1.2 计算桁架内力的节点法 和截面法 52 2.1 汇交力系的简化 22 4.2 摩擦与考虑摩擦时的平衡问题 55 2.1.1 几何法22 4.2.1 摩擦现象 55 2.1.2 解析法23 4.2.2 滑动摩擦 55 2.2 力偶系的简化 23 4.2.3 摩擦角与自锁现象 56 2.3 任意力系的简化 24 4.2.4 滚动摩擦 57 2.3.1 力线 考虑摩擦时的平衡问题 58 2.3.2 空间任意力系向任意 4.3 习题 60 一点的简化24 2.3.3 空间任意力系的简化结果26 第 5章 材料力学基本概念63 2.3.4 平面任意力系的简化及 5.1 材料力学的任务 63 简化结果27 5.2 材料力学的基本假设 64 2.4 平行力系的简化重心 29 5.3 外力、内力与截面法 64 2.4.1 平行力系的简化29 5.3.1 外力 64 2.4.2 平行力系的中心30 5.3.2 内力65 2.4.3 物体的重心31 5.3.3 截面法 65 2.4.4 确定物体重心的方法32 5.4 应力与应变 66 2.5 习题 34 5.4.1 应力 66 ·VI · 工程力学 5.4.2 应变67 8.5 圆轴扭转切应力 强度条件 119 5.4.3 简单的应力—应变关系68 8.5.1 试验与假设 119 5.5 杆件变形的基本形式 69 8.5.2 横截面上的切应力 119 5.6 习题 70 8.5.3 圆轴扭转时的强度条件 121 8.6 梁的弯曲正应力 正应力强度 第 6章 杆件的内力分析72 条件122 6.1 杆件的内力方程及内力图 72 8.6.1 弯曲的概念 122 6.1.1 杆件的内力分量72 8.6.2 纯弯曲时梁横截面上的 6.1.2 杆件的内力方程与内力图74 正应力 122 6.2 平面刚架和曲杆的内力分析 79 8.6.3 横力弯曲时梁横截面上的 6.2.1 平面刚架的内力分析79 正应力 126 6.2.2 平面曲杆的内力分析80 8.6.4 梁的正应力强度条件 126 6.2.3 用简易法作梁的 8.7 梁的弯曲切应力 切应力强度 剪力图和弯矩图81 条件128 6.3 习题 86 8.7.1 矩形截面梁 129 8.7.2 工字形截面梁 130 第 7章 截面图形的几何性质90 8.7.3 其他形状截面梁 131 7.1 静矩与形心 90 8.7.4 切应力强度条件 132 7.2 惯性矩 惯性积 极惯性矩 92 8.8 梁的合理强度设计 136 7.2.1 惯性矩和惯性积92 8.8.1 减小最大弯矩值 136 7.2.2 惯性半径93 8.8.2 合理选取截面形状 137 7.2.3 极惯性矩93 8.8.3 变截面梁 137 7.3 平行移轴公式 95 8.9 弯曲中心的概念 138 7.4 转轴公式与主惯性轴 97 8.9.1 开口薄壁截面梁的 7.5 习题 100 弯曲切应力 138 8.9.2 弯曲中心的概念 139 第 8章 杆件的应力与强度计算103 8.10 习题 141 8.1 拉压杆的应力 103 第 9章 杆件的变形与刚度计算147 8.1.1 横截面上的正应力103 8.1.2 斜截面上的应力104 9.1 拉(压)杆的变形147 8.1.3 应力集中的概念106 9.1.1 轴向变形 147 8.2 材料拉压时的力学性能 107 9.1.2 横向变形 148 8.2.1 材料拉伸时的力学性能107 9.2 圆轴扭转变形及其刚度条件 151 8.2.2 材料压缩时的力学性能111 9.2.1 圆轴扭转变形 151 8.3 许用应力、安全因数和强度条件 112 9.2.2 刚度条件 152 8.3.1 许用应力和安全因数112 9.3 梁的弯曲变形及其刚度计算 154 8.3.2 拉压杆的强度条件113 9.3.1 梁的挠度与转角 155 8.4 连接件的实用计算 115 9.3.2 梁的挠曲线 剪切的概念与实用计算116 微分方程 155 8.4.2 挤压的概念与实用计算116 9.3.3 用积分法求梁的位移 156 ·VI · 目 录 ·VII · 9.3.4 用叠加法求梁的 10.6.4 最大拉应变理论 204 挠度和转角160 10.6.5 最大切应力理论 205 9.3.5 梁的刚度条件165 10.6.6 形状改变能密度理论 205 9.3.6 提高弯曲刚度的措施165 10.6.7 *莫尔强度理论 207 9.4 简单超静定问题 167 10.6.8 相当应力 209 9.4.1 简单拉压超静定问题167 10.6.9 强度理论的应用 209 9.4.2 简单超静定梁170 10.7 习题 210 9.5 习题 174 第 11章 组合变形214 第 10章 应力状态分析与强度理论180 11.1 概述 214 10.1 应力状态的概念 180 11.2 斜弯曲 215 10.1.1 一点处的应力状态180 11.2.1 斜弯曲的内力与应力 215 10.1.2 单元体的概念180 11.2.2 斜弯曲时的强度条件 216 10.1.3 应力状态的分类181 11.2.3 斜弯曲时的变形 217 10.2 二向应力状态下的应力分析 185 11.3 拉伸或压缩与弯曲的组合 218 10.2.1 二向应力状态下的应力 11.3.1 轴向力与横向力共同 分析——解析法与图解法185 作用的情况 218 10.2.2 解析法求主应力、 11.3.2 偏心力引起的弯曲与 主平面与切应力的极值189 拉伸(压缩) 的组合220 10.3 莫尔圆(应力圆) 的其他用途192 11.3.3 截面核心 222 10.3.1 求主惯性矩192 11.4 弯曲与扭转的组合 223 10.3.2 求主应变193 11.4.1 弯曲与扭转组合变形的 10.4 三向应力状态简介 193 内力和应力223 10.4.1 三向应力圆193 11.4.2 弯曲与扭转组合 10.4.2 最大、最小正应力和 变形的强度条件 224 最大切应力194 11.5 习题 226 10.5 复杂应力状态下的应力—应变 关系195 第 12章 压杆稳定229 10.5.1 广义胡克定律195 12.1 压杆稳定性的概念 229 10.5.2 体积应变197 12.1.1 稳定性问题 229 10.5.3 复杂应力状态下的 12.1.2 稳定性概念 230 应变能密度199 12.2 细长杆临界力 231 10.5.4 体积改变能密度与 12.2.1 两端铰支细长压杆的 形状改变能密度200 欧拉公式 231 10.5.5 各向同性材料弹性 12.2.2 其他支承形式下的临界力 ...232 常数间的关系201 12.3 临界应力与临界应力总图 235 10.6 常用的强度理论 202 12.3.1 临界应力 235 10.6.1 构件失效的形式202 12.3.2 欧拉公式的适用范围 235 10.6.2 强度理论的概念203 12.3.3 超过比例极限时的 10.6.3 最大拉应力理论203 临界应力经验公式 236 ·VII · ·VIII · 工程力学 12.3.4 临界应力总图237 14.2.2 交变应力的应力幅和 12.4 压杆的稳定计算及合理设计 237 平均应力 253 12.4.1 压杆的稳定条件237 14.3 持久极限及其影响因素 254 12.4.2 提高压杆稳定性的措施239 14.4.1 构件外形的影响 255 12.5 习题 240 14.4.2 构件尺寸的影响 258 14.4.3 构件表面质量的影响 258 * 第 13章 动载荷 242 14.4 对称循环下构件的疲劳 13.1 载荷和动应力的概念 242 强度计算260 13.2 惯性力的问题 242 14.5 持久极限曲线 等加速直线 非对称循环下构件的 疲劳强度计算263 的应力计算242 14.7 弯扭组合交变应力的强度计算 266 13.2.2 等角速度转动时构件 14.8 变幅交变应力 268 的应力计算244 14.9 提高构件疲劳强度的措施 269 13.3 冲击载荷 246 14.9.1 减缓应力集中 270 13.4 提高杆件抗冲击载荷 14.9.2 降低表面粗糙度值 270 能力的措施248 14.9.3 增加表面强度 271 13.5 习题 248 14.10 习题 271 第 14章 交变应力*251 附录Ⅰ 型钢规格表276 14.1 交变应力与疲劳失效的概念 251 附录Ⅱ 单位换算289 14.2 交变应力的循环特征、应力幅 附录Ⅲ 习题参考答案290 和平均应力253 14.2.1 交变应力的循环特征253 参考文献299 ·VIII · 21 世纪全国应用型本科土木建筑系列实用规划教材 工 程 力 学 主 编 罗迎社 喻小明 副主编 李学罡 张为民 参 编 曾立星 王筱玲 参 徐春艳 孟黎清 主 审 张淳 张建军 内 容 简 介 本书是 21 世纪全国应用型本科土木建筑系列实用规划教材,土木建筑类专业重要基础课教材之一, 湖南省首批省级精品课程《工程力学》的教学用书。在编写过程中,注意吸取国内外同类教材的经验,在 内容选取和阐述方法上做了必要的改革和调整,如静力学部分先空间后平面;材料力学部分将各种简单变 形的内力分析集中讨论,在此基础上进而讨论应力问题等。全书概念清楚、内容精炼、语言流畅。 全书共 14 章,适用于 80 学时左右的教学安排,包括刚体静力学基础、力系简化理论、力系的平衡、 刚体静力学专门问题、材料力学基本概念、杆件的内力分析、截面图形的几何性质、杆件的应力与强度计 算、杆件的变形与刚度计算、应力状态分析与强度理论、组合变形、压杆稳定、动载荷、交变应力。书后 附有型钢规格表、部分习题参考答案及参考文献。 本教材可作为普通高等学校理工科其他本科专业教学用书,也可供高职高专与成人高校师生及有关工 程技术人员参考。 图书在版编目(CIP)数据 工程力学/罗迎社,喻小明主编. —北京:北京大学出版社,2006.8 (21 世纪全国应用型本科土木建筑系列实用规划教材) ISBN 7-301-10902-4 Ⅰ. 工… Ⅱ. ①罗… ②喻… Ⅲ. 工程力学—高等学校—教材 Ⅳ. TB12 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2006)第 081482 号 书 名:工程力学 著作责任者:罗迎社 喻小明 主编 策 划 编 辑:吴 迪 李昱涛 责 任 编 辑:吴 迪 刘 丽 标 准 书 号:ISBN 7-301-10902-4/TU ·0043 出 版 者:北京大学出版社 地 址:北京市海淀区成府路205 号 100871 网 址: 电 :邮购部 发行部 编辑部 出版部 电 子 邮 箱: 印 刷 者: 发 行 者:北京大学出版社 经 销 者:新华书店 787 毫米×1092 毫米 16 开本 19.75 印张 453 千字 2006 年 8 月第 1 版 2006 年 8 月第 1 次印刷 定 价:30.00 元 未经许可,不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。 版权所有,侵权必究 举报电线 电子邮箱:fd@pup. pku. edu. cn 第 1 章 静力学基础 教学提示:本章介绍静力学最基本的内容,包括静力学基本概念与公理、静力学基本 计算以及物体受力分析。静力学基本概念与公理是静力学的理论基础,静力学基本计算与 物体受力分析是力学课程中非常重要的基本训练 教学要求:本章让学生掌握力、刚体、平衡等概念与静力学公理,熟悉力的分解、力 的投影与力矩的计算方法,掌握力偶与力偶的性质,熟悉各种常见约束的性质,掌握物体 受力分析方法,能熟练地画出工程结构的受力图 静力学是研究物体受力及平衡的一般规律的科学。 静力学理论是从生产实践中总结出来的,是对工程结构构件进行受力分析和计算的基 础,在工程技术中有着广泛的应用。静力学主要研究以下 3 个问题: (1) 物体的受力分析。 (2) 力系的等效替换与简化。 (3) 力系的平衡条件及其应用。 1.1 静力学基本概念 1. 力与力系的概念 力是物体之间相互的机械作用。这种作用使物体的机械运动状 态发生变化或使物体的形状发生改变,前者称为力的外效应或运动 效应,后者称为力的内效应或变形效应。在静力学中只研究力的外 效应。实践表明,力对物体的作用效果取决于力的三个要素:(1) 力的大小;(2)力的方向;(3)力的作用点。因此力是矢量,且为定 位矢量,如图 1.1 所示,用有向线段 AB 表示一个力矢量,其中线 段的长度表示力的大小,线段的方位和指向代表力的方向,线 起点(或终点)表示力的作用点,线段所在的直线称为力的作用线。 在静力学中,用黑斜体大写字母 F 表示力矢量,用白斜体大写字母 F 表示力的大小。 在国际单位制中,力的单位是牛顿(N)或千牛(kN) 。 力的作用点是物体相互作用位置的抽象化 。实际上,两个物体接触处总占有一定的面 积,力总是分布地作用在一定的面积上的,如果这个面积很小,则可将其抽象为一个点, 即为力的作用点,这时的作用力称为集中力;反之,若两物体接触面积比较大,力分布地 作用在接触面上,这时的作用力称为分布力。除面分布力外,还有作用在物体整体或某一 长度上的体分布力或线分布力,分布力的大小用符号 q 表示,计算式如下 ΔF q = lim ΔS →0 ΔS ·2 · 工程力学 式中 ΔS 为分布力作用的范围(长度、面积或体积) ,ΔF 是作用于该部分范围内的分布力的 合力,q 表示分布力作用的强度,称为荷载集度。如果力的分布是均匀的,称为均匀分布 力,简称均布力。 力系是指作用在物体上的一群力。若对于 同一物体,有两组不同力系对该物体的作用 效果完全相同,则这两组力系称为等效力系。一个力系用其等效力系来代替,称为力系的 等效替换。用一个最简单的力系等效替换一个复杂力系,称为力系的简化。若某力系与一 个力等效,则此力称为该力系的合力,而该力系的各力称为此力的分力。 2. 刚体的概念 所谓刚体,是指在力的作用下不变形的物体,即在力的作用下其内部任意两点的距离 永远保持不变的物体。这是一种理想化的力学模型,事实上,在受力状态下不变形的物体 是不存在的,不过,当物体的变形很小,在所研究的问题中把它忽略不计,并不会对问题 的性质带来本质的影响时,该物体就可近似看作刚体。刚体是在一定条件下研究物体受力 和运动规律时的科学抽象,这种抽象不仅使问题大大简化,也能得出足够精确的结果,因 此,静力学又称为刚体静力学。但是,在需要研究力对物体的内部效应时,这种理想化的 刚体模型就不适用,而应采用变形体模型,并且变形体的平衡也是以刚体静力学为基础的, 只是还需补充变形几何条件与物理条件。 3. 平衡的概念 在工程中,把物体相对于地面静止或作匀速直线运动的状态称为平衡。 根据牛顿第一定律,物体如不受到力的作用则必然保持平衡。但客观世界中任何物体 都不可避免地受到力的作用,物体上作用的力系只要满足一定的条件,即可使物体保持平 衡,这种条件称为力系的平衡条件。满足平衡条件的力系称为平衡力系。 1.2 静力学公理 为了讨论物体的受力分析,研究力系的简化和平衡条件,必须先掌握一些最基本的力 学规律。这些规律是人们在生活和生产活动中长期积累的经验总结,又经过实践反复检验, 被认为是符合客观实际的最普 、最一般的规律、称为静力学公理。静力学公理概括了力 的基本性质,是建立静力学理论的基础。 公理 1 力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力,可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点,合力 的大小和方向,由这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线(a)所示。或者 说,合力矢等于这两个力矢的几何和,即 F =F +F (1.1) R 1 2 亦可另作一力三角形 求两汇交力合力矢的大小和方向,即依次将 F1 和 F2 首尾相接 画出,最后由第一个力的起点至第二个力的终点形成三角形的封闭边,即为此二力的合力 矢 FR ,如图 1.2(b)、图 1.2(c)所示,称为力的三角形法则。 ·2 · 第 1 章 静力学基础 ·3 · 图 1.2 公理 2 二力平衡条件 作用在刚体上的两个力,使刚体处于平衡的充要条件是:这两个力大小相等,方向相 反,且作用在同一直线 所示。该两力的关系可用如下矢量式表示 F1=-F2 图 1.3 这一公理揭示了作用于刚体上的最简单的力系平衡时所必须满足的条件,满足上述条 件的两个力称为一对平衡力。需要说明的是,对于刚体,这个条件既必要又充分,但对于 变形体,这个条件是不充分的。 只在两个力作用下而平衡的刚体称为二力构件或二力杆,根据二力平衡条件,二力 杆两端所受两个力大小相等、方向相反,作用线沿两个力的作用点的连线 加减平衡力系公理 在 已知力系上加上或减去任意的平衡力系,并不改变原力系对刚体的作用。 这一公理是研究力系等效替换与简化的重要依据 。 根据上述公理可以导出如下两个重要推论: 推论 1 力的可传性 作用于刚体上某点的力,可以沿着它的作用线滑移到刚体内任意一点,并不改变该力 对刚体的作用效果。 证明:设在刚体上点 A 作用有力 F ,如图 1.5(a)所示。根据加减平衡力系公理,在该力 的作用线上的任意点 B 加上平衡力 F 与 F ,且使 F = - F = F ,如图 1.5(b)所示, 由于 F 1 2 2 1 ·3 · ·4 · 工程力学 与 F 组成平衡力,可去除,故只剩下力 F ,如图 1.5(c)所示,即将原来的力 F 沿其作用线 移到了点 B 。 图 1.5 由此可见,对刚体而言,力的作用点不是决定力的作用效应的要素,它已为作用线所 代替。因此作用于刚体上的力的三要素是:力的大小,方向和作用线。 作用于刚体上的力可以沿着其作用线滑移,这种矢量称为滑移矢量。 推论 2 三力平衡汇交定理 若刚体受三个力作用而平衡,且其中两个力的作用线相交于一点,则此三个力必共面 且汇交于同一点。 证明:刚体受三力 F 、F 、F 作用而平衡,如图 1.6 1 2 3 所示。根据力的可传性,将力 F1 和 F2 移到汇交点 O,并合 成为力 F12,则 F3 应与 F12 平衡。根据二力平衡条件,F3 与 F 必等值、反向、共线,所以 F 必通过 O 点,且与 F 、 12 3 1 F2 共面,定理得证。 图 1.6 公理 4 作用与反作用定律 两个物体间的作用力与反作用力总是 同时存在,且大小相等,方向相反,沿着同一条 直线,分别作用在两个物体上。若用 F 表示作用力, F ′ 表示反作用力,则 ′ F = −F 该公理表明,作用力与反作用力总是成对出现,但它们分别作用在两个物体上,因此 不能视作平衡力。 公理 5 刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡,如果将此变形体刚化为刚体,其平衡状态保持 不变。 这一公理提供了把变形体抽象为刚体模型的条件。如柔性绳索在等值、反向、共线的 两个拉力作用下处于平衡,可将绳索刚化为刚体,其平衡状态不会改变。而绳索在两个等 值、反向、共线的压力作用下则不能平衡,这时,绳索不能刚化为刚体。但刚体在上述两 种力系的作用下都是平衡的。 由此可见,刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件,而非充分条件。刚化原理建立 了刚体与变形体平衡条件的联系,提供了用刚体模型来研究变形体平衡的依据 。在刚体静 力学的基础上考虑变形体的特性,可进一步研究变形体的平衡问题。这一公理也是研究物 体系平衡问题的基础,刚化原理在力学研究中具有非常重要的地位。 ·4 · 第 1 章 静力学基础 ·5 · 1.3 关于力的基本计算 1.3.1 力的投影 合力投影定理 1. 力在轴上的投影 如图 1.7(a)所示,设有力 F 与 x 轴共面, 由力 F 的始端A 点和末端 B 点分别向x 轴作 垂线,垂足为 a 和 b ,则线段 ab 的长度冠以适当的正负号就表示力 F 在 x 轴上的投影,记 为 Fx 。如果从 a 到 b 的指向与 x 轴的正向一致,则 Fx 为正值,反之为负值。在数学上,力 在轴上的投影定义为力与该投影轴单位矢量的标量积。力在轴上的投影是力使物体沿该轴 方向移动效应的度量。 设x 轴的单位矢量为 e ,力 F 与 x 轴正向间的夹角为α ,则力 F 在 x 轴上的投影为: Fx = F•e = F cosα (1.2) 力在轴上的投影是代数量。当 0 °≤α <90 °时,Fx 为正值;当 90 °<α ≤180°时, Fx 为负值,当α =90 °时,Fx 为零。 如图 1.7(b)所示,当 90 °<α ≤180°时,可按下式计算 F : x Fx = F cosα = F cos(180 − β ) = −F cos β (1.3) 2. 力在平面上的投影 如图 1.8 所示, 由力 F 的始端A 点和末端 B 点分别向xy 平面作垂线,垂足为 a 和 b , 则矢量 ab 称为力 F 在 xy 平面上的投影,记为 Fxy 。 Fxy 是矢量,其大小为 Fxy =F cosα (1.4) 图 1.7 图 1.8 3. 力在直角坐标轴上的投影 将力向直角坐标系 Oxyz 的三坐标轴上投影的方法有直接投影法和二次投影法。设x 轴、 y 轴、z 轴的单位矢量分别为 i 、j 、k ,α ∈ [0,180 ] 、β ∈ [0,180 ] 、γ ∈ [0,180 ] 分别为力 F 与三轴正向的夹角,如图 1.9(a)所示,采用直接投影法得到力 F 在各轴上的投影为 Fx =F ·i = Fcosα Fy = F ·j = Fcos β (1.5) Fz =F ·k = Fcosγ 二次投影法则首先将力 F 向z 轴与 xy 平面上投影,得到Fz 与投影矢量 Fxy ,其次再将 Fxy 向x 轴、y 轴上投影,如图 1.9(b)所示,有 ·5 · ·6 · 工程力学 Fz = F cosγ ⎫ ⎪ Fxy = F sinγ ⎪ ⎬ (1.6) Fx = Fxy cosϕ = F sinγ cosϕ ⎪ F = F sinϕ = F sinγ sinϕ ⎪ y xy ⎭ 式中γ ∈ [0,180 ] 为 F 与 z 轴正向的夹角,ϕ ∈ [0,180 ] 为 Fxy 与 x 轴正向的夹角。 图 1.9 4. 合力投影定理 若作用于一点的 n 个力 F ,F ,…,F 的合力为 F ,则:合力在某轴上的投影,等 1 2 n R 于各分力在同一轴上投影的代数和,这就是合力投影定理。在直角坐标系中,有 FR x = ∑ Fix , FR y = ∑ Fiy , FRz = ∑ Fiy (1.7) 1.3.2 力的分解 力的分解遵循力的平行四边形法则。如图 1.10(a)所示,将力 F 向任意两轴方向分解, 即以力 F 为对角线,以两轴为两相邻边作一平行四边形,得到力 F1、F2 就是力 F 的两个 分力。图 1.10(b)所示为将力 F 向直角坐标系的两轴方向的分解。力 F 与两分力 F 、F 的 1 2 关系表示如下 F=F +F (1-8) 1 2 图 1.10 在空间情形下,常采用直接分解法与二次分解法将力沿直角坐标方向进行分解。直接 分解法就是将力 F 直接向 3 个直角坐标轴方向分解得到分力 F 、F 、F ,如图 1.11(a)所示, 1 2 3 用矢量式表示如下 F=F +F +F (1.9) 1 2 3 F = Fcosα ,F = Fcos β ,F = Fcosγ 。 显然,各分力的大小为: 1 2 3 二次分解法首先沿z 轴与力 F 作一平面,然后将 F 沿z 轴方向和该平面与 xy 平面的交 ·6 · 第 1 章 静力学基础 ·7 · 线 与 FM ,再将 FM 向x 、y 轴方向分解,如图 1.11(b)所示,可表示如 下式 F=F +F =F +F +F (1.10) M 3 1 2 3 各分力的大小为: F = F sinγ , F = F sinγ cosϕ , F = F sinγ sinϕ , F = F cosγ 。 M 1 2 3 根据 以上讨论容易看出,在直角坐标系中,力 F 的分力与投影有如下关系 FM =Fxy (1.11) F = F i , F = F j , F = F k (1.12) 1 x 2 y 3 z 在直角坐标系中,力 F 写成如下解析式 F= F +F + F =F i + F j +F k (1.13) 1 2 3 x y z 图 1.11 1.3.3 力矩 力对物体的作用有移动效应,也有转动效应。力使物体绕某点(或某轴)转动效应的度 量,称为力对点(或轴)之矩。 1. 力对点之矩 设力 F 作用于 A 点,任取一点 O,点 O 至点 A 的矢径为 r(如图 1.12 所示) 。则力 F 对 点之矩矢定义为 M O (F ) = r × F (1.14) 即:力对点之矩矢等于点 O 至力的作用点 A 的矢径与该力的矢量积,它是力使物体绕 该点转动效应的度量。O 点称为力矩中心,简称矩心;力 F 的作用线与矩心 O 确定的平面 称为力矩作用面;矩心 O 至力 F 的作用线的垂直距离 d 称为力臂。力对点之矩矢是定位 矢量,该矢量通过矩心 O,垂直于力矩的作用面,其指向按右手螺旋法则确定。它的模表 示力对点之矩矢的大小,即为 M O (F ) = Fr sinα = Fd (1.15) 可见,力矩矢 M O (F ) 表明 了力 F 对矩心 O 之矩 3 个要素: ① 力矩的作用面。 ② 在力矩作用面内力 F 绕矩心 O 的转向。 ③ 力矩的大小。 若以矩心 O 为原点,建立直角坐标 Oxyz ,如图 1.12 所示。 由F=Fx i +Fy j +Fz k , r = xi+y j +z k ,则式(1.14)可用解析式表示如下 ·7 · ·8 · 工程力学 图 1.12 M (F ) = r × F = (xi + yj + zk ) × (F i + F j + F k ) O x y z (1.16) ( )i ( ) j ( )k = yFz − zFy + zFx − xFz + xFy − yFx [M O (F )] x = yFz − zF y ⎫ ⎪ 令 [M O (F )] y = zFx − xFz ⎬ (1.17) ⎪ [M O (F )]z = xFy − yFx ⎭ 分别表示力矩矢在三个坐标轴上的投影。 需要说明的是,在平面情形下,力对点的矩定义为代数量,即 M O (F ) = ±F ⋅ d (1.18) 且规定力 F 绕 O 点的转向为逆时针方向时取正号,反之取负号。 2. 力对轴之矩 如图 1.13 所示,设力 F 作用于刚体上的 A 点,使刚体绕 z 轴转动。过 A 点作平面 Oxy 垂直于 z 轴并交于 O 点,将力 F 分解为平行于 z 轴的分力 F3 和垂直于 z 轴的分力 Fxy ,力 F 对轴的转动效应可以用两个分力所产生的合效应来代替。由经验可知,分力 F3 不能使刚 体绕 z 轴转动,它对 z 轴的矩为零,只有分力 Fxy 才能使刚体绕 z 轴转动。以 h 表示从 O 点 至力 Fxy 作用线的垂直距离。则力 F 对 z 轴之矩定义为 M z (F ) = M z (Fxy ) = M O (Fxy ) = ±Fxy ⋅ h (1.19) 图 1.13 力对轴之矩是力使刚体绕 z 轴转动效应的度量,它是代数量,其正负号规定如下:从 z 轴的正端往负端看,若力 F 的分力 Fx y 绕 z 轴的转向为逆时针方向时取正号,反之取负号。 ·8 · 第 1 章 静力学基础 ·9 · 根据力对轴之矩的定义可知,当力的作用线与轴共面(平行或相交) 时,力对该轴之矩 等于零。 力对轴之矩也可用解析式表示。如图 1.14 所示,设力 F 在沿 3 个坐标轴方向上的分力 分别为 F 、F 、F ,则 1 2 3 图 1.14 M (F ) = M (F ) = M (F ) + M (F ) z z xy z 1 z 2 考虑到 F = F i , F = F j ,F = F k ,力作用点 A 的坐标为(x 、y 、z) ,则有 1 x 2 y 3 z M z (F ) = xFy − yFx ⎫ ⎪ 同理得到 M x (F ) = yFz − zFy ⎬ (1.20) ⎪ M y (F ) = zFx − xFz ⎭ 3. 力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系 由式(1.17)与式(1.20)可得 [M O (F )]x = M x (F )⎫ ⎪ [M O (F )]y = M y (F ) ⎬ (1.21) ⎪ [M O (F )]z = M z (F )⎭ 上式说明:力对点之矩矢在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴之矩。 例 1.1 如图 1.15 所示,水平放置的圆轮轮缘上点 A 处作用一力 F ,其作用线与过该 点的圆轮切线夹角为α ,并在过点 A 而与轮缘相切的平面内,点A 与圆心 O 的连线与 x 轴 的夹角为 β 。试求力 F 对点 O 之矩矢。 图 1.15 ·9 · ·10 · 工程力学 解:如图,将力 F 分解为平行 z 轴的力 F3 和在圆盘平面内并与 圆周切于点 A 的力 Fxy F = F sinα F = F cosα 3 xy 因而 M z (F ) = M z (Fxy ) = −Fr cosα M x (F ) = M x (F3 ) = −Fr sinα sin β M y (F ) = M y (F3 ) = Fr sinα cos β 则 ( ) ( ) ( ) ( ) M O F = M x F i + M y F j + M z F k = −Fr sinα sin β i + Fr sinα cos β j − Fr cosα k 4. 合力矩定理 设作用于同一点的 n 个力 F ,F ,…,F 的合力为 F ,则该合力对某点(或某轴)之矩 1 2 n

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