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工程力学教案(很经典)pdf

工程力学

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  工程力学教案第一章物体的受力分析静力学:研究物体在力系作用下平衡规律的科学。主要问题:力系的简化建立物体在力系作用下的平衡条件。本章将介绍静力学公理工程中常见的典型约束以及物体的受力分析。静力学公理是静力学理论的基础。物体的受力分析是力学中重要的基本技能。§力的概念与静力学公理一、力的概念力的概念是人们在长期生活和生产实践中逐步形成的。例如:人用手推小车小车就从静止开始运动落锤锻压工件时工件就会产生变形。力是物体与物体之间相互的机械作用。使物体的机械运动发生变化称为力的外效应使物体产生变形称为力的内效应。力对物体的作用效应取决于力的三要素即力的大小、方向和作用点。力是矢量常用一个带箭头的线段来表示在国际单位制中力的单位牛顿(N)或千牛顿(KN)。二、静力学公理公理力的平行四边形法则作用在物体上同一点的两个力可以合成一个合力。合力的作用点仍在该点合力的大小和方向由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定。其矢量表达式为FR=FF根据公理求合力时通常只须画出半个平行四边形就可以了。如图b、c所示这样力的平行四边形法则就演变为力的三角形法则。【说明】:FR=FF表示合力的大小等于两分力的代数和两力夹角为α用余弦定理求合力的大小正弦定理求方向可分解力:()已知两分力的方向求两分力的大小()已知一个分力的大小和方向求另一分力大小和方向该公理既适用于刚体又适用于变形体对刚体不需两力共点公理二力平衡公理刚体仅受两个力作用而平衡的充分必要条件是:两个力大小相等方向相反并作用在同一直线上如图-所示。即F=F它对刚体而言是必要与充分的但对于变形体而言却只是必要而不充分。如图-所示当绳受两个等值、反向、共线的拉力时可以平衡但当受两个等值、反向、共线的压力时就不能平衡了。二力构件:仅受两个力作用而处于平衡的构件。二力构件受力的特点是:两个力的作用线必沿其作用点的连线。如图-a中的三铰钢架中的BC构件若不计自重就是二力构件。公理加减平衡力系公理在作用于刚体上的已知力系上加上或减去任一平衡力系并不改变原力系对刚体的作用效果。加减平衡力系公理主要用来简化力系。但必须注意此公理只适应于刚体而不适应于变形体。推论力的可传性原理作用于刚体上的力可以沿其作用线移至刚体内任意一点而不改变该力对物体的作用效果。力对刚体的效应与力的作用点在其作用线上的位置无关。因此作用于刚体上的力的三要素是:力的大小、解未知量。列力矩方程时通常选未知力较多的交点为矩心()校核结果。求解物体系统平衡问题的步骤()适当选取研究对象画出个研究对象的受力图()分析各受力图确定求解顺序并根据选定的顺序逐个选取研究对象求解。摩擦和自锁滑动摩擦力是两个相互接触的物体当它们之间有相对滑动或相对滑动趋势时在接触面之间产生彼此阻碍运动的力。前者称静摩擦力后者称动摩擦力。()静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势相反其大小随主动力改变应根据平衡方程确定。当物块处于临界平衡状态时静摩擦力达到了最大值所以≤Ff≤Fmax。而Fmax=μsFN。()动摩擦力的方向与接触面间相对滑动方向相反其大小Ff=μFN。()摩擦角φFR=FNFf称为全反力当Ff=Fmax时全反力与接触面法线的最大夹角称为摩擦角φm且有tanφm=μ。()自锁当α≤φm时无论主动力多大物体始终能保持平衡这种现象称为自锁。()考虑摩擦时的平衡问题除满足平衡条件外摩擦力还必须满足≤Ff≤Fmax物体处于临界平衡状态时Ff=Fmax=μsFN。第四章材料力学基本知识构件的承载能力为保证构件正常工作构件应具有足够的能力负担所承受的载荷。因此构件应当满足以下要求:、强度要求:即构件在外力作用下应具有足够的抵抗破坏的能力。在规定的载荷作用下构件当然不应破坏包括断裂和发生较大的塑性变形。例如冲床曲轴不可折断建筑物的梁和板不应发生较大塑性变形。强度要求就是指构件在规定的使用条件下不发生意外断裂或塑性变形。、刚度要求:即构件在外力作用下应具有足够的抵抗变形的能力。在载荷作用下构件即使有足够的强度但若变形过大仍不能正常工作。例如机床主轴的变形过大将影响加工精度齿轮轴变形过大将造成齿轮和轴承的不均匀磨损引起噪音。刚度要求就是指构件在规定的事业条件下不发生较大的变形。、稳定性要求:即构件在外力作用下能保持原有直线平衡状态的能力。承受压力作用的细长杆如千斤顶的螺杆、内燃机的挺杆等应始终维持原有的直线平衡状态保证不被压弯。稳定性要求就是指构件在规定的使用条件下不产生丧失稳定性破坏。如果构件的横截面尺寸不足或形状不合理或材料选用不当不能满足上述要求将不能保证工程结构或机械的安全工作。相反如果不恰当的加大构件横截面尺寸或选用高强材料这虽满足了上述要求却使用了更多的材料和增加了成本造成浪费。我们可以作出以下结论:材料力学是研究各类构件(主要是杆件)的强度、刚度和稳定性的学科它提供了有关的基本理论、计算方法和实验技术使我们能合理地确定构件的材料和形状尺寸以达到安全与经济的设计要求。在工程实际问题中一般来说构件都应具有足够的承载能力即足够的强度、刚度和稳定性但对具体的构件又有所侧重。例如储气罐主要保证强度车床主轴主要要求具有足够的刚度受压的细长杆应该保持其稳定性。对某些特殊的构件还可能有相反的要求。例如为防止超载当载荷超过某一极限时安全销应立即破坏。又如为发挥缓冲作用车辆的缓冲弹簧应有较大的变形。研究构件的承载能力时必须了解材料在外力作用下表现出的变形和破坏等方面的性能及材料的力学性能。材料的力学性能由实验来测定。经过简化得出的理论是否可信也要由实验来验证。此外对于一些尚无理论结果的问题需要借助实验方法来解决。所以实验分析和理论研究同是材料力学解决问题的方法。变形固体的基本假设材料力学所研究的构件由各种材料所制成材料的物质结构和性质虽然各不相同但都为固体。任何固体在外力作用下都会发生形状和尺寸的改变即变形。因此这些材料统称为变形固体。变形固体的性质是很复杂的在对用变形固体做成的构件进行强度、刚度和稳定性计算时为了使计算简化经常略去材料的次要性质并根据其主要性质做出假设将它们抽象为一种理想模型作为材料力学理论分析的基础。下面是材料力学对变形固体常采用的几个基本假设:连续性假设:假设在固体所占有的空间内毫无空隙地充满了物质。实际上组成固体的粒子之间存在空隙但这种空隙极其微小可以忽略不计。于是可认为固体在其整个体积内是连续的。基于连续性假设固体内的一些力学量(例如点的位移)既可用连续函数表示并可采用无穷小的高等数学分析方法研究。连续性不仅存在于变形前同样适用于变形发生之后。既构件变形后不出现新的空隙也不出现重叠。均匀性假设:材料在外力作用下在强度和刚度方面所表现出的性能称为材料的力学性能。所谓的均匀性假设指材料的力学性能在各处都是相同的与其在固体内的位置无关。即从固体内任意取出一部分无论从何处取也无论取多少其性能总是一样的。由此假设可以认为变形固体均由同一均质材料组成因而体内各处的力争性质都是相同的并认为在其整个体积内毫无空隙地充满了物质。事实上从固体的微观结构看各种材料都是由无数颗粒(如金属中的晶粒)组成的颗粒之间是有一定空隙的而且各颗粒的性质也不完全一致。但由于材料力学是从宏观的角度去研究构件的强度、刚度和稳定性问题这些空隙远远小于构件的尺寸而且各颗粒是错综复杂地排列于整个体积内因此由统计平均值观点看各颗粒性质的差异和空隙均可忽略不计而认为变形固体是均匀连续的。各向同性假设:即认为材料沿各个方向的力学性质是相同的。具有这种属性的材料称为各向同性材料。例如钢、铜、铸铁、玻璃等而木材、竹和轧制过的钢材等则为各向异性材料。但是有些各向异性材料也可近似地看作是各向同性的。构件在外力作用下将发生变形当外力不超过一定限度时绝大多数构件在外力去掉后均能恢复原状。当外力超过某一限度时则在外力去掉后只能部分地复原而残留一部分不能消失的变形。外力去掉后能消失的变形称为弹性变形不能消失而残留下来的变形称为塑性变形。应该指出工程实际中多数构件在正常工作条件下只产生弹性变形而且这些变形与构件原有尺寸相比通常是很小的所以在材料力学中大部分问题只限于对弹性变形的研究并且在研究构件的平衡与运动时变形的影响可以忽略不计。综上所述材料力学是将物体看作均匀、连续、各向同性的变形固体并且只限于研究微小的弹性变形的情况。内力、截面法和应力概念一、内力的概念材料力学的研究对象是构件对于所取的研究对象来说周围的其他物体作用于其上的力均为外力这些外力包括荷载、约束力、重力等。按照外力作用方式的不同外力又可分为分布力和集中力。构件即使不受外力作用它的各质点之间本来就有相互作用的内力以保持其一定的形状。材料力学所讨论的内力是指因外力作用使构件发生变形时构件的各质点间的相对位置改变而引起的“附加内力”即分子结合力的改变量。这种内力随外力的改变而改变。但是它的变化是有一定限度的不能随外力的增加而无限地增加。当内力加大到一定限度时构件就会破坏因而内力与构件的强度、刚度是密切相关的。由此可知内力是材料力学研究的重要内容。二、截面法截面法是材料力学中求内力的基本方法是已知构件外力确定内力的普遍方法。已知杆件在外力作用下处于平衡求m-m截面上的内力即求m-m截面左、右两部分的相互作用力。首先假想地用一截面m-m截面处把杆件裁成两部分然后取任一部分为研究对象另一部分对它的作用力即为m-m截面上的内力N。因为整个杆件是平衡的所以每一部分也都平衡那么m-m截面上的内力必和相应部分上的外力平衡。由平衡条件就可以确定内力。例如在左段杆上由平衡方程N-F=可得N=F按照材料连续性假设m-m截面上各处都有内力作用所以截面上应是一个分布内力系用截面法确定的内力是该分布内力系的合成结果。这种将杆件用截面假想地切开以显示内力并由平衡条件建立内力和外力的关系确定内力的方法称为截面法。综上所述截面法可归纳为以下三个步骤:、假想截开在需求内力的截面处假想用一截面把构件截成两部分。、任意留取任取一部分为究研对象将弃去部分对留下部分的作用以截面上的内力N来代替。、平衡求力对留下部分建立平衡方程求解内力。三、应力的概念用截面法确定的内力是截面上分布内力系的合成结果它没有表明该分布力系的分布规律所以为了研究相伴的强度仅仅知道内力是不够的。例如有同样材料而截面面积大小不等的两根杆件若它们所受的外力相同那么横截面上的内力也是相同的。但是从经验知道当外力增大时面积小的杆件一定先破坏。这是因为截面面积小其上内力分布的密集程度大的缘故。内力在截面上的分布集度称为应力。以分布在单位面积上的内力来衡量。如图所示在杆件横截面m-m上围绕一点K取微小面积并设上分布内力的合力为。的大小和方向与所取K点的位置和面积有关。将与的比值称为微小面积上的平均应力用表示即:称为截面m-m上一点K处的应力。应力的方向与内力N的极限方向相同通常它既不与截面垂直也不与截面相切。将应力分解为垂直于截面的分量σ和相切于截面的分量τ其中σ称为正应力τ称为切应力。在国际单位制中应力单位是帕斯卡简称帕(Pa)。工程上常用兆帕(MPa)有时也用吉帕(GPa)。杆件变形的基本形式在机器或结构物中构件的形状是多种多样的。如果构件的纵向(长度方向)尺寸较横向(垂直于长度方向)尺寸大得多这样的构件称为杆件。杆是工程中最基本的构件。如机器中的传动轴、螺杆、房屋中的梁和柱等均属于杆件。某些构件如齿轮的轮齿、曲轴的轴颈等并不是典型的杆件但在近似计算或定性分析中也简化为杆。垂直于杆长的截面称为横截面各横截面形心的连线称为轴线。轴线为直线且各横截面相等的杆件称为等截面直杆简称为等直杆。材料力学主要研究等直杆。外力在杆件上的作用方式是多种多样的当作用方式不同时杆件产生的变形形式也不同。归纳起来杆件变形的基本形式有如下四种:()拉伸或压缩:图示简易吊车。在载荷P作用下AC杆受到拉伸而BC杆受到压缩。这类变形形式是由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力引起的表现为杆件的长度发生伸长或缩短。起吊重物的钢索、桁架的杆件、液压油缸的活塞杆等的变形都属于拉伸或压缩变形。()剪切:图示铆钉联接a)在P力作用下铆钉受到剪切。这类变形形式是由大小相等、方向相反、相互平行的力引起的表现为受剪杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动b)。机械中常用的联接件如键、销钉、螺栓等都产生剪切变形。()扭转:图示转轴AB在工作时发生扭转变形。这类变形形式是由大小相等、方向相反、作用面垂直于杆件轴线的两个力偶引起的表现为杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。汽车的传动轴、电机的主轴等都是受扭杆件。()弯曲:图示梁的变形即为弯曲变形。这类变形形式是由垂直于杆件轴线的横向力或由作用于包含杆轴的纵向平面内的一对大小相等、方向相反的力偶引起的。变形表现为杆件轴线由直线变为曲线。在工程中受弯杆件是最常遇到的情况之一。桥式起重机的大梁、各种心轴以及车刀等的变形都属于弯曲变形。还有一些杆件的变形比较复杂可能同时发生几种基本变形。例如钻床立柱同时发生拉伸和弯曲两种基本变形车床主轴工作时发生弯曲、扭转和压缩三种基本变形。几种基本变形的组合称为组合变形。我们将依次讨论四种基本变形的强度及刚度计算然后再讨论组合变形。小结本章介绍了材料力学的研究对象和任务。、构件的承载能力包括强度、刚度和稳定性。、变形固体是理想化的力学模型几个基本假设是材料力学研究的基础。、内力是由于外力引起的是一个有限量。、截面法求解应力是材料力学的一个基本方法。、杆件的变形可以认为是四个基本变形的组合。承受轴向拉伸或压缩的构件称为杆。分析杆在轴向拉压荷载作用下的内力、应力和变形以及杆的强度问题具有典型性和普遍意义从中可以得到分析基本构件内力、应力以及变形的总体概念与某些分析方法。第五章轴向拉伸与压缩•轴向拉伸与压缩概念•轴向拉伸与压缩时的内力(截面法、轴力与轴力图)•轴向拉伸与压缩时的应力(横截面和斜截面上的应力)•拉压杆的变形与虎克定律•材料在拉压时的力学性能•拉压杆的强度计算轴向拉伸和压缩的概念工程结构和机械中经常遇到承受拉伸或压缩的构件。例如悬臂吊车的压杆BC及拉杆AC。AC杆受到沿轴线方向拉力的作用沿轴线产生伸长变形而BC杆则受到沿轴线压力的作用沿轴线产生缩短变形。此外内燃机中的连杆建筑物桁架中的杆件均为拉或压杆。这些构件外形虽各有差异加载方式也不尽相同但都可见简化为右图所示的计算简图图中虚线表示变形后的形状。它们共同的受力特点是:作用在直杆两端的两个合外力大小相等方向相反且作用线与杆轴线相重合。在这种外力作用下杆件的变形是沿轴线方向伸长或缩短。这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩这类杆件称为拉杆或压杆。轴向拉伸和压缩时的内力一、轴力所谓内力是指当构件受外力作用而发生变形时构件的一部分对另一部分的作用力。求解内力的普遍方法是截面法:假想截开、任意留取、平衡求力。为了显示轴向拉伸或压缩杆件的内力以横截面mm将一拉杆切为左、右两段(图)。在分离的横截面上即有使杆件产生轴向变形的内力分量轴力N。现以左段为研究对象列平衡方程即得轴力N=F。式中N的作用线与杆的轴线一致方向如图所示。由于在截开截面处左右两侧截面上的内力互为作用力和反作用力因此大小相等方向相反。为使左右两侧截面上的内力具有相同的正负号必须规定轴力的的正负。轴力的正负由杆的变形确定。当轴力的方向与横截面的外法线方向一致时杆件受拉伸长其轴力为正反之杆件受压缩短其轴力为负。通常未知轴力按正向假设由计算结果确定实际指向。由此可知杆件轴力的确定方法完全与静力分析的方法相同而且在建立平衡方程时无需考虑杆件变形的形式。二、轴力图工程实际中杆件所受外力可能很复杂这时杆件各段的轴力将各不相同这时需分段用截面法计算轴力。为了直观地表达轴力随横截面位置的变化情况用平行于杆件轴线的坐标表示各横截面的位置以垂直于杆轴线的坐标表示轴力的数值所绘制的图形称为轴力图。【例】绘制如图直杆的轴力图。已知。轴向拉伸和压缩时的应力应力是指内力在截面上的分布集度通常将应力分解为垂直于截面的分量正应力σ和相切于截面的分量切应力τ。一、杆件轴向拉压时横截面上的正应力为了求得横截面上任意一点的应力必须了解内力在截面上的分布规律。取一等截面直杆在杆上画上与杆轴线垂直的横线ab和cd再画上与杆轴平行的纵向线然后沿杆的轴线作用拉力F使杆件产生拉伸变形。此时可以观察到:横线在变形前后均为直线且都垂直于杆的轴线纵线在变形后也保持直线仍平行于杆的轴线只是横线间距增大纵向间距减小所有正方形的网格均变成大小相同的长方形。根据杆件表面的变形情况可对杆件做出如下假设:杆件的横截面在变形后仍保持为平面且仍与杆的轴线垂直。这个假设称为平面假设。由平面假设可以得出:()横截面上各点只产生沿垂直与横截面方向的变形故横截面上只存在正应力()将杆件想象成无数的纵向纤维所组成任意两横截面间的纵向纤维伸长均相等即变形相同。由材料的均匀连续性假设可以推断每一根纤维所受内力相等即同一横截面上的正应力处处相同。轴向拉压时横截面上的应力均匀分布即横截面上各点处的应力大小相等其方向与轴力一致垂直于横截面故为正应力应力分布图形如图:式中A为杆横截面面积。正应力的正负号与轴力的正负相对应即拉应力为正压应力为负。【例-】圆直杆的载荷P=kNP=KN直径d=mmd=mm。试计算截面-和-的正应力。【查看解答】二、斜截面上的应力横截面上的正应力将作为拉(压)杆强度计算的依据但由不同材料的拉伸、压缩试验表明拉伸、压缩破坏不是都沿横截面发生的。例如铸铁压缩时沿着大约度斜截面发生破坏。为了更全面地研究拉(压)杆的强度应进一步讨论斜截面上的应力。拉压杆的变形杆件受轴向拉伸时产生变形纵向尺寸增大横向尺寸缩小。反之受轴向压缩时纵向尺寸缩小横向尺寸增大。因此拉压杆的变形包括沿轴线的纵向变形和垂直于轴线的横向变形。材料在拉压时的力学性能在外力作用下构件内引起的应力称工作应力。工作应力越大构件破坏的可能性越大。但是构件究竟是否破坏还与构件材料的力学性能有关。材料的力学性能是指材料在外力作用下其强度和变形方面所表现出的性能。材料的力学性能由试验测定。在室温下以缓慢平稳的加载方式进行的拉伸试验是确定材料力学性能的基本试验。试验在万能试验机上进行。为了便于比较不同材料的试验结果金属常温拉伸试验的试件应按国家规定的试验标准进行加工。国家标准试件的形状如图所示。l称为标距它与直径d可以有两种比例:l=d和l=d。一、低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢是工程上广泛使用的金属材料它在拉伸时表现出来的力学性能具有典型性。低碳钢试件的应力应变曲线如图所示。由图可见整个拉伸过程大致可分为四个阶段。.弹性阶段图中OA为一直线段这说明该段内应力和应变成正比即遵循虎克定律。直线部分的最高点A所对应的应力值称为比例极限。OA直线的倾角为α其正切值即为材料的弹性模量。低碳钢的比例极限约为MPa弹性模量约为GPa。当应力超过比例极限后图中A段已不是直线虎克定律不再适用。但当应力值不超过点所对应的应力时如将外力卸去试件的变形也随之全部消失这种变形即为弹性变形称为弹性极限。比例极限和弹性极限的概念不同但实际上A点和点非常接近通常对两者不作严格区分统称为弹性极限。在工程应用中一般均使构件在弹性范围内工作。.屈服阶段当应力超过弹性极限后图上出现接近水平的小锯齿形波动段BC说明此时应力虽有小的波动但基本保持不变但应变却迅速增加表现为材料暂时失去了抵抗外力的能力。这种应力变化不大而变形显著增加的现象称为屈服或流动。BC段所对应的过程称为屈服阶段屈服阶段的最低应力值称为材料屈服点。低碳钢的屈服点~MPa。在屈服阶段如果试件表面光滑可以看到试件表面有与轴线大约成的条纹称为滑移线。材料在屈服阶段将产生较大的塑性变形这对某些机械零件的正常工作是不允许的所以屈服点是衡量材料强度的一个重要指标。.强化阶段屈服阶段后图上出现上凸的曲线CD段这表明若要使材料继续变形必须增加应力即材料又恢复了抵抗变形的能力这种现象称为材料的强化CD段对应的过程称为材料的强化阶段。曲线最高点D所对应的应力值用表示称为材料的抗拉强度它规定了材料所能承受的最大应力是衡量材料强度的另一个重要指标。低碳钢的抗拉强度~MPa。.缩颈断裂阶段应力达到抗拉强度后在试件较薄弱的横截面处发生急剧的局部收缩出现缩颈现象。综上所述低碳钢拉伸是经历了弹性、屈服、强化和颈缩四个阶段。试件拉断后弹性变形消失会残留较大的塑性变形或称为残余变形。第六章剪切与挤压§剪切和挤压工程上常用于联接构件的铆钉、销钉和螺栓、键等称为联接件。当机械工作时联接件两侧面受到一对大小相等、方向相反且作用线相距很近的力作用。在这样的力作用下联接件的主要失效形式之一就是沿平行于这两个外力且位于该两外力作用线之间的截面发生相对错动而产生剪切破坏。与此同时联接件与所联接的构件因相互接触而产生挤压。当这种挤压力过大时在接触面的局部范围内将产生塑性变形甚至被压溃从而导致联接件与所联接的构件共同失效。由于应力的局部性质且联接件与所联接的构件在联接处的应力和变形都很复杂要进行精确的理论分析也相当困难因而在工程上通常对这些联接件采用实用计算。一是假定应力是均匀分布的由此计算出各部分的“名义应力”二是在与实际构件受力极其类似的情况下进行实验并用假定应力均匀分布的公式计算得到联接件材料失效的极限应力最后由以上两个假定建立设计准则作为联接件强度计算的依据。§剪切概念和实用计算一、剪切的概念钢板被剪裁时剪床的上下两个刀刃以大小相等、方向相反、作用线相距很近的两个力P作用于钢板上迫使钢板在nn截面的左右两部分沿此截面发生相对错动构件的这种变形形式称为剪切变形。由此可知剪切的受力特点是:作用在构件两侧面上的外力大小相等、方向相反、作用线相距很近。其变形特点是:构件在二力作用线之间的截面沿外力的方向发生相对错动使两力作用线间的小矩形变成了歪斜的平行四边形。产生相对错动的截面称为剪切面。剪切面平行于外力的作用线且在两个反向外力的作用线之间。只有一个剪切面称为单剪具有两个剪切面称为双剪。二、剪切虎克定律从某受剪钢板的剪切面处取出一个微小的正六面体单元体如图所示显然在剪切面上只存在切应力τ。在与剪力相应的切应力的作用下单元体的右面相对左面发生错动使原来的直角改变了一个微量这就是切应变γ。实验指出:当切应力τ不超过材料的剪切比例极限时切应力与切应变成正比。即τ=Gγ这就是材料的剪切虎克定律。式中比例常数G与材料有关称为材料的切变模量量纲与应力相同常用单位是GPa其数值可由实验测得。一般钢材的切变模量G约为GPa铸铁约为GPa。三、剪切实用计算构件受剪切作用时其剪切面上将产生内力。应用截面法假想沿剪切面将铆钉分成两段任取一段为研究对象。由平衡条件可知剪切面mm上必须有一个与该截面平行的内力存在这个平行于截面作内力称为剪力常用符号FQ表示。与剪力FQ对应剪切面上有切应力τ存在。切应力在剪切面上的分布规律较复杂。工程上常采用以实际经验为基础的“实用计算法”来计算。“实用计算法”假设切应力均匀地分布在剪切面上。设剪切面的面积为A剪力为FQ则切应力的计算公式为为了保证构件工作时不发生剪切破坏要求构件工作时产生的切应力不得超过材料的许用切应力因此剪切的强度条件为:式中τ为材料的许用切应力。许用切应力τ可以通过与构件实际受力情况相类似的剪切实验测出试件的破坏载荷然后计算出剪切强度极限然后除以安全系数n而得到。剪切强度条件同样可以解决三类强度问题计算中注意确定存在几个剪切面、剪切面的位置和大小以及每个剪切面上的剪力和切应力。§挤压的概念和实用计算一、挤压的概念螺栓、铆钉和键等联接件在承受剪切作用的同时还在联接件和被联接件的接触面上相互压紧这种局部受压的现象称为挤压。如图所示的螺栓联接在钢板和螺栓相互接触的表面上将承受一定的压力当压力足够大时钢板上的圆孔可能被压成如图所示的椭圆孔或者螺栓的侧表面被压陷。这种作用在接触面上的压力称为挤压力用符号Fbc表示。在接触处产生的变形称为挤压变形。挤压力的作用面称为挤压面。由挤压力引起的应力称为挤压应力用σc表示。必须指出挤压与压缩是不同的。挤压力作用在构件的表面挤压应力只分布在挤压面附近区域挤压应力较大时挤压面附近区域将发生显著的塑性变形而被压溃。二、挤压实用计算挤压应力在挤压面上的分布情况较复杂所以工程中也采用实用计算方法即认为挤压应力在挤压面上假设均匀分布:式中为挤压面上的挤压力为有效挤压面面积。在挤压的实用计算中有效挤压面面积如下确定:若接触面为平面则有效挤压面面积为实际接触面面积若接触面为曲面则有效挤压面密集为曲面在挤压方向上的正投影面面积。为保证联接件具有足够的挤压强度而不破坏挤压强度条件为:式中为材料的许用挤压应力。挤压强度条件也可以解决三类强度问题难点是有效挤压面的确定。必须注意如果两个相互挤压构件的材料不同则应对材料挤压强度较小的构件进行计算。小结当构件受到大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近的两外力作用时两力之间的截面发生相对错动这种变形称为剪切变形。工程中的联接件在承受剪切的同时还伴随着挤压的作用即在传力的接触面上出现局部的不均匀压缩变形。工程实际中采用实用计算的方法来建立抗剪强度条件和挤压强度条件一它们分别为确定联接件的剪切面和挤压面是进行强度计算的关键。剪切面与外力平行且位于反向外力之间当挤压面为平面时其计算面积就是实际面积当挤压面为圆柱面时其计算面积等于半圆柱面积的正投影面积。第七章直梁弯曲§平面弯曲的概念工程实际中存在大量的受弯曲杆件如火车轮轴桥式起重机大梁(图)。所谓的弯曲变形是指杆的轴线由直线变成曲线以弯曲变形为主的杆件称为梁。梁的受力特点是在轴线平面内受到力偶矩或垂直于轴线方向的外力的作用。如果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内则变形后的轴线将在纵向对称平面内完成一条平面曲线。这种弯曲称为平面弯曲。平面弯曲是最常见及最简单的弯曲变形。梁上的荷载和支承情况一般比较复杂为便与分析和计算在保证足够精度的前提下需要对梁进行力学简化。一、梁的简化为了绘图的方便首先对梁本身进行简化通常用梁的轴线来代替实际的梁如图所示。二、荷载分类作用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型:、集中荷载当载荷的作用范围和梁的长度相比较是很小时可以简化为作用于一点的力称为集中荷载或集中力。如车刀所受的切削力便可视为集中力P其单位为牛(N)或千牛(kN)。.集中力偶当梁的某一小段内(其长度远远小于梁的长度)受到力偶的作用可简化为作用在某一截面上的力偶称为集中力偶。如图(b)所示。对称面内受到矩为M的集中力偶的作用。它的单位为牛·米(N·m)或千牛·米(kN·m)。、分布载荷梁的全长或部分长度上连续分布的载荷。如梁的自重水坝受水的侧向压力等均可视为分布载荷。分布载荷的大小用载荷集度q表示其单位为牛/米(N/m)或千牛/米(k/m)。沿梁的长度均匀分布的载荷称为均布载荷其均布集度q为常数。三、梁的基本形式按照支座对梁的约束情况通常将支座简化为以下三种形式:固定铰链支座、活动铰链支座和固定端支座。这三种支座的约束情况和支反力已在静力学中讨论过这里不再重复。根据梁的支承情况一般可把梁简化为以下三种基本形式。、简支梁梁的一端为固定铰链支座另一端为活动饺链支座的梁称为简支梁。、外伸梁外伸梁的支座与简支梁一样不同点是梁的一端或两端伸出支座以外所以称为外伸梁。、悬臂梁一端固定另一端自由的梁称为悬臂梁。以上三种梁的未知约束反力最多只有三个应用静力平衡条件就可以确定这三种形式梁的内力。§梁的内力为了对梁进行强度和刚度计算必须首先确定梁在荷载作用下任一横截面上的内力。弯曲梁指定截面的内力采用截面法求解。由平衡条件可得使梁产生剪切变形的剪力和产生弯曲变形的弯矩即梁的内力包括两部分。剪力FQC等于截面以左梁上所有外力在y轴上投影的代数和。取代数和时以与剪力同向的外力投影为负反之为正。弯矩MC等于横截面以左梁上所有外力对横截面形心C的矩的代数和。取代数和时以与弯矩同向的外力的矩为负反之为正。为了使由左段或右段求得的同一截面上的剪力和弯矩不但在数值上相等而且在符号上也相同将剪力和弯矩的正负符号规定如下:对于所切梁的横截面的微变形若使之发生左侧截面向上、右侧截面向下的相对错动则剪力为正反之为负若使弯曲变形呈上凹下凸则弯矩为正反之为负。按此规定对于一个横截面上的剪力和弯矩无论是以截面左段上还是右段上的外力来计算其结果非但数值相等其符号也是一样的。关于弯矩的正负符号规定也可以借组成梁的无数纵向纤维的变形来说明。弯矩为正梁的下部受拉弯矩为负时梁的上部受拉。综上所述将弯曲梁的内力的求法归纳起来即:①在欲求梁内力的横截面处将梁切开任取一段作为研究对象②画出所取梁段的受力图将横截面上的剪力和弯矩均设为正③由脱离体平衡方程分别计算剪力和弯矩在力矩方程中矩心为所切横截面的形心C。【例】简支梁如图已知a、q、M=qa求梁上指定截面的内力§剪力图和弯矩图一、剪力方程和弯矩方程一般情形下梁横截面上的剪力和弯矩随横截面位置的变化而变化。设横截面沿梁轴线的位置用坐标x表示则各个截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数:Q=Q(x)M=M(x)两式分别称为剪力方程和弯矩方程二、剪力图和弯矩图绘制剪力图和弯矩图的目的是形象地表示出剪力和弯矩沿梁长的变化情况从而可确定梁上最大剪力和最大弯矩的数值及其作用的横截面位置。一般以梁的左端为原点以横坐标表示梁横截面的位置以纵坐标表示相应截面上的剪力或弯矩的数值一般将正的剪力或弯矩画在x轴上方负的剪力或弯矩画在x轴下方。这样得出的曲线图分别称为剪力图和弯矩图。利用剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图的基本思路为:①求约束力②建立剪力方程和弯矩方程③画剪力图和弯矩图【例】绘制图示梁的内力图①悬臂梁作用均布载荷q,由于悬臂梁的特殊性可避免求解约束反力②写出x截面的剪力方程和弯矩方程③按方程绘制剪力图和弯矩图显然最大剪力、弯矩均发生在B点三、剪力、弯矩和荷载分布集度之间的微分关系由上述内容可以看出载荷不同梁上各截面的剪力和弯矩也不同所以画出的剪力图和弯矩图的形式也不同。进一步研究发现载荷、剪刀和弯矩三者之间是存在一定关系的掌握这种关系对绘制梁的剪力图和弯矩图将提供很大的方便。设一简支梁受向上的任意分布载荷q的作用其荷载集度q是x的连续函数。x以向右为正分布荷载以向上为正。在分布荷载作用的范围内取距左端为x的微段dx进行分析。列平衡方程并略去公式中的高阶微量得即:其几何意义为剪力图上任一点切线的斜率等于梁上相应点处的载荷集度弯矩图上任一点切线的斜率等于梁上相应点处横截面上的剪力由此可得出梁上载荷剪力图和弯矩图之间的下列关系:、如果某段梁上无均布载荷作用即q=则剪力Q为常量说明这段梁上的剪力图是一水平直线而弯矩M为坐标x的一次函数说明这段梁上的弯矩图是一倾斜直线。若对应的Q>时则弯矩图从左到右向上倾斜(斜率为正)当Q<时则弯矩图从左到右向下倾斜(斜率为负)。、如果某段梁上有均布载荷作用即q为常数则剪力Q为坐标x的一次函数说明剪力图在这段梁上为一倾斜直线而弯矩M为坐标x的二次函数说明弯矩图在这段梁上为一抛物线。当q>(与所建立的y坐标正向一致时)时剪力图从左到右向上倾斜(斜率为正)弯矩图为开口向下的二次抛物线q<(向下)一时剪力图从左到右向下倾斜(斜率为负)弯矩图为开口向上的二次抛物线。、在集中力作用截面处剪力图发生突变突变的大小等于集中力的大小。弯矩图会发生转折转折的方向和集中力的方向一致。、在集中力偶作用处剪力图无变化。弯矩图将发生突变突变的大小等于集中力偶矩的大小突变的方向从左向右来看如果外力偶矩为逆时针弯矩由上向下突变。、若在梁的某一截面上即弯矩图在该点的斜率为零则在该截面处弯矩存在极值。利用这些关系可以不必列出剪力方程和弯矩方程便能直接画出剪力图和弯矩图。其方法是:根据梁上载荷将梁分成几段再由各段内的载荷作用情况初步判断剪力图和弯矩的形状然后求出控制截面上的内力值从而画出整个梁的内力图。【例】M=kNm,q=kNm,a=m绘制梁的内力图。§弯曲正应力计算在平面弯曲时工程上近似地认为梁横截面上的弯矩是由截面上的正应力形成的而剪力则由截面上的切应力所形成。本章将在梁弯曲时的内力分析的基础上导出梁弯曲时的应力与变形的计算建立梁的强度和刚度条件。为了研究梁横截面上的正应力分布规律取一矩形截面等直梁在表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横线。在梁的两端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶梁则发生弯曲。梁任意横截面上的内力只有弯矩而无剪力这种弯曲称为纯弯曲这种梁称为纯弯曲梁。通常从变形的几何关系、物理关系和静力平衡条件三个方面来推导出纯弯曲梁横截面上的正应力公式。一、实验观察梁发生弯曲变形后我们可以观察到以下现象:、横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交只是相互倾斜了一个角度、纵向线(包括轴线)都变成了弧线。、梁横截面的宽度发生了微小变形在压缩区变宽了些在拉伸区则变窄了些。根据上述现象可对梁的变形提出如下假设:①平面假设:梁弯曲变形时其横截面仍保持平面且绕某轴转过了一个微小的角度。②单向受力假设:设梁由无数纵向纤维组成则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。可以看出梁下部的纵向纤维受拉伸长上部的纵向纤维受压缩短其间必有一层纤维既不伸长也木缩短这层纤维称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴即图中的Z轴。梁的横截面绕Z轴转动一个微小角度。二、变形的几何关系图中梁的两个横截面之间距离为dx变形后中性层纤维长度仍为dx且dx=ρdθ。距中性层为y的某一纵向纤维的线应变ε为:即梁内任一纵向纤维的线应变ε与它到中性层的距离y成正比。三、变形的物理关系由单向受力假设当正应力不超过材料的比例极限时将虎克定律代入上式得:可见矩形截面梁在纯弯曲时的正应力的分布有如下特点:①中性轴上的线应变为零所以其正应力亦为零。②到中性轴距离相等的各点其线应变相等。根据虎克定律它们的正应力也相等。③在图示的受力情况下中性轴上部各点正应力为负值中性轴下部各点正应力为正值。④正应力沿y轴线性分布。最大正应力(绝对值)在离中性轴最远的上、下边缘处。四、静力学关系在梁的横截面上任取一微面积dA作用在这微面积上的微内力为σdA在整个横截面上有许多这样的微内力。微面积上的微内力σdA对z轴之矩的总和组成了截面上的弯矩则式中称为横截面对中性轴的惯性矩是截面图形的几何性质仅与截面形状和尺寸有关。上式是梁纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。应用时M及y均可用绝对值代入至于所求点的正应力是拉应力还是压应力可根据梁的变形情况由纤维的伸缩来确定即以中性轴为界梁变形后靠凸的一侧受拉应力靠凹的一侧受压应力。也可根据弯矩的正负来判断当弯矩为正时中性轴以下部分受拉应力以上部分受压应力弯矩为负时则相反。横截面上最大正应力发生在距中性轴最远的各点处。即令则WZ称为抗弯截面模量也是衡量截面抗弯强度的一个几何量其值与横截面的形状和尺寸有关弯曲正应力计算公式是梁在纯弯曲的情况下导出来的。对于一般的梁来说横截面上除弯矩外还有剪力存在这样的弯曲称为剪切弯曲。在剪切弯曲时横截面将发生翘曲平截面假设不再成立。但较精确的分析证明对于跨度l与截面高度h之比lh的梁计算其正应力所得结果误差很小。在工程上常用的梁其跨高比远大于因此计算式可足够精确地推广应用于剪切弯曲的情况。弯曲正应力计算公式虽然是以矩形截面梁为例来推导的但公式中并没有用到矩形截面的特殊几何性质所以上式完全适用于具有纵向对称平面的其他截面形状的梁。所以只要梁具有纵向对称面且载荷作用在对称面内则梁的跨度较大时剪切弯曲时也可应用。但当梁横截面上的最大应力大于比例极限时此式不再适用。五、惯性矩计算举例其余常见截面的惯性矩和抗弯截面模量可参阅截面图形集合性质有关章节。§梁的强度设计在进行梁的强度计算时首先应确定梁的危险截面和危险点。一般情况下对于等截面直梁其危险点在弯矩最大的截面上的上下边缘处即最大正应力所在处。一、强度条件危险点的最大工作应力应不大于材料在单向受力时的许用应力强度条件为:σmax≤σ式中σmax为危险点的应力。考虑到材料的力学性质和截面的几何性质判定危险点的位置是建立强度条件的主要问题。二、关于危险点的讨论、对称截面若截面对称于中性轴则称为对称截面否则称为非对称截面。对于塑性材料其许用拉应力和许用压应力相同。对称截面塑性材料的危险点可以选择距中性轴最远端的任一点计算。对于许用拉应力和许用压应力不同的脆性材料由于脆性材料的许用压应力大于许用拉应力所以只需计算受拉边的最大应力值。σlmax≤σl、非对称截面对于塑性材料危险点一定出现在距中性轴最远处所以这种情况下只需计算一个危险点。对于脆性材料需要结合弯矩的正负及截面形状分别计算。如果距中性轴最远处的是受拉边则只需计算一个危险点如果距中性轴最远处的是受压边则需要计算两个危险点。其强度条件为:三、强度条件三类问题①强度校核验算梁的强度是否满足强度条件判断梁在工作时是否安全。②截面设计根据梁的最大载荷和材料的许用应力确定梁截面的尺寸和形状或选用合适的标准型钢。③确定许用载荷根据梁截面的形状和尺寸及许用应力确定梁可承受的最大弯矩再由弯矩和载荷的关系确定梁的许用载荷。对于非对称截面需按公式分别计算三类问题。【例】图示T形截面铸铁外伸梁其许用拉应力σ=MPa许用压应力σ=MPa截面尺寸如图。截面对形心轴z的惯性矩Iz=mm且y=cm。试校核梁的强度。分析:、画出梁的弯矩图(确定最大弯矩及其所在截面)、求出梁的最大拉应力和最大压应力值、校核强度解答:解:、求支座反力:FA=kNFB=kN画出弯矩图如b)最大正弯矩在C点最大负弯矩在B点即C点为上压下拉而B点为上拉下压、求出B截面最大应力最大拉应力(上边缘)最大压应力(下边缘)、求出C截面最大应力最大拉应力(下边缘)最大压应力(上边缘)最大拉应力在C点且σCmax=MPaσ+=MPa最大压应力在B点且σBmax=MPaσ-=MPa故梁强度足够第八章圆轴扭转§扭转的概念一、扭转的概念在日常生活及工程实际中有很多承受扭转的构件。例如汽车转向轴当汽车转向时驾驶员通过方向盘把力偶作用在转向轴的上端在转向轴的下端则受到来自转向器的阻力偶作用。当钳工攻螺纹时加在手柄上的两个等值反向的力组成力偶作用于锥杆的上端工件的反力偶作用在锥杆的下端。又如轴承传动系统的传动轴工作时电动机通过皮带轮把力偶作用在一端在另一端则受到齿轮的阻力偶作用。上述杆件的受力情况可以简化为如图所示的计算简图。由此可以看出:扭转杆件的受力特点是:杆件两端受到一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的力偶作用。其变形特点是:杆的各横截面都绕轴线发生相对转动。这种变形称为扭转变形。以扭转变形为主的构件称为轴。在生产实际中圆轴(横截面为圆形或圆环形)用得较多本章只研究圆轴的扭转问题。二、扭矩、外力偶矩的计算研究圆轴扭转的强度和刚度问题时首先要知道作用在轴上的外力偶矩的大小。在工程实际中作用在轴上的外力偶矩通常并不直接给出而是已知轴所传递的功率和轴的转速。功率、转速和力偶矩之间的关系为:式中:M外力偶矩单位为牛米(Nm)P轴传递的功率单位为千瓦(Kw)n轴的转速单位为转/分(r/min)可以看出轴所承受的外力偶矩与所传递的功率成正比。因此在传递同样大的功率时低速轴所受的外力偶矩比高速轴大所以在传动系统中低速轴的直径要比高速轴的直径粗一些。、扭矩圆轴在外力偶矩作用下横截面上将产生内力用截面法来研究。图示圆轴在两端受一对大小相等转向相反的外力偶矩M作用下产生扭转变形并处于平衡状态。用一假想截面沿m-m处将轴假想切成两段取其中任一段(如左段)为研究对象。因为原来的轴是处于平衡状态的所以切开后的任意一段也应处于平衡状态。所以在截面m-m上必然存在一个内力偶矩。这个内力偶矩称为扭矩用符号T表示。取截面左段与取截面右段为研究对象所求得的扭矩数值相等而转向相反(作用与反作用)。为了使从左、右两段求得同一截面上的扭矩正负号相同通常对扭矩的正负号作如下规定:按右手螺旋法则以右手四指表示扭矩的转向则大拇指的指向离开截面时的扭矩为正大拇指指向截面时的扭矩为负。三、扭矩图若圆轴上同时受几个外力偶作用时则各段轴截面上的扭矩就不完全相等这时必须分段来求。为了确定最大扭矩及其所在截面的位置通常是将扭矩随截面位置变化的规律用图形表示出来即以横坐标表示截面位置以纵坐标表示扭矩这样的图形称为扭矩图。下面以实例来说明扭矩图的画法。结论:横截面上扭矩的大小等于截面一侧右段或左段上所有外力偶矩的代数和在计算外力偶矩的代数和时以与所设扭矩同向的外力偶矩取为负反之为正。求得各段扭矩后以横坐标表示横截面的位置相应横截面上扭矩为纵坐标画出扭矩随截面变化的图线即得扭矩图。单击查看心轴扭矩图画法举例动画§圆轴扭转时的应力与强度计算进行圆轴扭转强度计算时当求出横截面上的扭矩后还应进一步研究横截面上的应力分布规律以便求出最大应力。和弯曲正应力分析过程类似也要从三方面考虑。首先由杆件的变形找出应变的变化规律也就是研究圆轴扭转的变形几何关系。其次由应变规律找出应力的分布规律也就是建立应力和应变间的物理关系。最后根据扭矩和应力之间的静力学关系导出应力的计算公式。一、实验观察为了观察圆轴的扭转变形在圆轴表面上画出许多间距很小的纵向线和垂直于杆轴线的圆轴线如图所示。在两端外力偶矩作用下使轴产生扭转变形。可以观察到下列现象:、各圆周线均绕轴线相对旋转过一个角度但形状、大小及相邻两圆周线之间的距离均无变化。.所有纵向线仍保持为直线但都倾斜了一个微小角度使圆轴表面的小矩形变为平行四边形。根据上述现象可得出关于圆轴扭转的基本假设:圆轴扭转变形后轴的横截面仍保持为平面形状和大小均不变半径也保持为直线。这就是圆轴扭转时的平面假设。按照这一假设在扭转变形中圆轴的横截面就象刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。由此可见横截面上各点无轴向变形故横截面上没有正应力。横截面上存在剪应力各横截面半径不变所以剪应力方向与截面径向垂直。纵向线倾斜的角度γ表达了轴变形的剧烈程度即为轴的切应变。二、变形的几何关系为了确定横截面上的切应力先用相邻两横截面在圆轴上截取出微段dx如图所示。可得横截面上任意一点的切应变γρ与该点到圆心的距离ρ成正比。三、物理关系由剪切胡克定律可知:当切应力不超过某一极限值时切应力与切应变成正比。即:结论:横截面上任意一点的切应力τρ的大小与该点到圆心的距离ρ成正比切应力的方向垂直于该点和转动中心的连线。应力分布规律如图:四、静力学关系如图所示:微面积dA上内力对o点的矩为dM=ρτρdA整个截面上的微内力矩的合力矩应该等于扭矩即则或式中Ip=∑ρdA称为横截面对形心的极惯性矩取决于横截面的大小和形状。五、极惯性矩和抗扭截面模量计算极惯性矩和抗扭截面模量都是截面图形的几何性质可以根据定义由积分法求出。具体的计算方法参见截面图形的几何性质有关内容。对于实心圆轴对于空心圆轴设内外径之比α=dD六、扭转强度条件圆轴扭转时产生最大切应力的横截面称为危险截面。考虑到轴横截面上切应力的分布可知危险截面上的应力大小和该点到圆心的距离成正比。所以在横截面上存在危险点即应力值最大的点。为保证圆轴具有足够的扭转强度轴的危险点的工作应力不超过材料的许用切应力故圆轴扭转的强度条件为应用强度条件解决问题的基本思路是先由扭矩图、截面尺寸确定危险点然后考虑材料的力学性质应用强度条件进行计算。扭转强度条件也可以解决三类问题:强度校核、截面设计和确定许用荷载。圆轴扭转的变形和刚度计算一、圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形是用两个横截面间绕轴线的相对扭转角φ来度量的。这就是扭转角的计算公式扭转角单位为弧度(rad)。由此可见扭转角φ与扭矩T和轴的长度l成正比与GIp成反比。GIp反映了圆轴抵抗扭转变形的能力称为圆轴的抗扭刚度。如果两截面之间的扭矩值T有变化或轴的直径或材料不同那么应该分段计算各段的扭转角然后叠加。二、扭转刚度计算轴类零件除应满足强度要求外还应满足刚度要求即不允许轴有过大的扭转变形。例如车床的丝杠若扭转角过大会影响车刀进给从而降低加工精度。发动机的凸轮轴扭转角过大会影响气阀开关的时间。镗床的主轴或磨床的传动轴如扭转角过大将引起扭转振动影响工件的加工精度和表面粗糙度。所以轴还应满足刚度要求。工程中常常采用单位长度的扭转角来衡量轴扭转变形的程度即扭转角表达式中消除长度l的影响:其单位为弧度/米(rad/m)。为了保证轴的刚度通常规定单位长度扭转角的最大值θmax不超过某个规定的许用值即轴单位长度的许用扭转角θ。于是得扭转的刚度条件为:在工程中θ的单位习惯上用度米(m)表示。把公式中的弧度换算为度得本章小结提高圆轴扭转时的强度和刚度可以从降低扭矩和增大惯性矩或抗扭截面系数等方面来考虑。为了降低扭矩当轴传递的外力偶矩一定时可以通过合理地布置主动轮与从动轮的位置来实现。为了增大惯性矩或抗扭截面系数工程上常采用空心轴这既可节约原材料又能使轴的强度和刚度有较大的提高。但是空心轴价格昂贵一般情况下不采用。工程上还可能遇到非圆截面杆的扭转如正多边形截面和方形截面的传动轴。非圆截面杆扭转时横截面不再保持平面即横截面要发生翘曲。因此上述平面假设导出的扭转圆轴的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。第九章组合变形§组合变形概述前面研究了杆件在拉伸(压缩)、剪切、扭转和弯曲四种基本变形时的强度和刚度问题。但在工程实际中许多构件受到外力作用时将同时产生两种或两种以上的基本变形。例如建筑物的边柱机械工程中的夹紧装置皮带轮传动轴等。我们把杆件在外力作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。常见的组合变形有:拉伸(压缩)与弯曲的组合弯曲与扭转的组合两个互相垂直平面弯曲的组合(斜弯曲)拉伸(压缩)与扭转的组合。本章只讨论弯曲与扭转的组合。处理组合变形问题的基本方法是叠加法将组合变形分解为基本变形分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形然后再叠加起来。组合变形强度计算的步骤一般如下:()外力分析将外力分解或简化为几种基本变形的受力情况()内力分析分别计算每种基本变形的内力画出内力图并确定危险截面的位置()应力分析在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律确定出危险点的位置及其应力状态。()建立强度条件将各基本变形情况下的应力叠加然后建立强度条件进行计算。§弯扭组合变形强度计算机械中的转轴通常在弯曲和扭转组合变形下工作。现以电机为例说明此种组合变形的强度计算。图a所示电机轴在轴上两轴承中端装有带轮工作时电机给轴输入一定转矩通过带轮的皮带传递给其它设备。带紧边拉力为FT松边拉力为FT不计带轮自重。图()外力分析将作用于带上的拉力向杆的轴线简化得到一个力和一个力偶如图(b)其值分别为力F使轴在垂直平面内发生弯曲力偶M和电机端产生M的使轴扭转故轴上产生弯曲和扭转组合变形。()内力分析画出轴的弯矩图和扭矩图如图(c)、(d)所示。由图知危险截面为轴上装带轮的位置其弯矩和扭矩分别为()应力分析由于在危险截面上同时作用有弯矩和扭矩故该截面上必然同时存在弯曲正应力和扭转切应力如图(e)a、b两点正应力和切应力均分别达到最大值为危险点该两点正应力和切应力分别为该两点的单元体均属于平面应力状态图(f)故需按强度理论建立强度条件。()建立强度条件对于塑性材料制成的转轴因其抗拉、压强度相同故只需取一点研究。采用第三或第四强度理论进行计算相当应力分别为对于圆轴由于可得到按第三和第四强度理论建立的强度条件为以上两式只适用于由塑性材料制成的弯扭组合变形的圆截面和空心截面杆。例如图a为圆轴AB在轴的右端联轴器上作用有一力偶M。已知:D=mF=F=kN,d=mm,a=mm,σ=MPa试按第四强度理论设计准则校核圆轴的强度。图解()将作用于带上的力向轴线简化图bFF=kNM=(FF)D=kNm()分别画出轴的扭矩图和弯矩图c、d可以看出C截面为危险截面。()由第四强度理论设计准则例如图a所示已知F=kNF=kNa=b=d=D=a=σ=MPa。按第三强度理论设计轴的直径。图解:()画出受力简图如图b轴发生铅垂和水平面内的弯曲及扭转。()空间力系投影法xy面:如图c画出弯矩图如图d求得:MCz=NmMBz=Nmxz面:如图e画出弯矩图如图f求得:MCy=Nm()扭矩图如图hT=Nm()危险点为C点()设计轴径由第三强度理论得:所以本章难点及重点处理组合变形构件的强度问题的步骤是:()将外力向杆轴线简化分解为几种基本变形。()计算各基本变形下的内力并作出相应的内力图。()确定危险截面和危险点计算各危险点在每个基本变形下产生的应力。()对于弯曲和扭转组合的圆截面杆需按第三或第四强度理论建立强度条件分别

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