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工程力学教本(很经典)pdf

工程力学

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  工程力学教案 第一章 物体的受力分析 静 力 学: 研究物体在力系作用下平衡规律的科学。 主要问题: 力系的简化; 建立物体在力系作用下的平衡条件。 本章将介绍静力学公理,工程中常见的典型约束,以及物体的受力分析。静力学公理是静力学理论的 基础。物体的受力分析是力学中重要的基本技能。 §1.1 力的概念与静力学公理 一、力的概念 力的概念是人们在长期生活和生产实践中逐步形成的。例如:人用手推小车, 小车就从静止开始运动;落锤锻压工件时,工件就会产生变形。 力是物体与物体之间相互的机械作用。 使物体的机械运动发生变化,称为力的外效应; 使物体产生变形,称为力的内效应。 力对物体的作用效应取决于力的三要素,即力的大小、方向和作用 点。 力是矢量,常用一个带箭头的线段来表示,在国际单位制中,力的单位牛顿 (N)或千牛顿(KN)。 二、静力学公理 公理1 力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力,可以合成一个合力。合力的作用点仍在该点, 合力的大小和方向由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定。其矢量 表达式为 FR =F1+F2 根据公理1求合力时,通常只须画出半个平行四边形就可以了。如图1-2b、 c所示,这样力的平行四边形法则就演变为力的三角形法则。 1 【说明】:1.FR=F1+F2表示合力的大小等于两分力的代数和 2.两力夹角为α,用余弦定理求合力的大小,正弦定理求方向 3.可分解力:(1) 已知两分力的方向,求两分力的大小 (2) 已知一个分力的大小和方向,求另一分力大小和方 向 4.该公理既适用于刚体,又适用于变形体,对刚体不需两力共点 公理2 二力平衡公理 刚体仅受两个力作用而平衡的充分必要条件是:两个力大小相等,方向相反, 并作用在同一直线 它对刚体而言是必要与充分的,但对于变形体而 言却只是必要而不充分。如图1-4所示,当绳受两个 等值、反向、共线的拉力时可以平衡,但当受两个等 值、反向、共线的压力时就不能平衡了。 二力构件:仅受两个力作用而处于平衡的构件。二力构件受力的特点是:两个力 的作用线必沿其作用点的连线a中的三铰钢架中的BC构件,若不计 自重,就是二力构件。 公理3 加减平衡力系公理 在作用于刚体上的已知力系上,加上或减去任一平衡力系,并不改变原力系 对刚体的作用效果。 加减平衡力系公理主要用来简化力系。但必须注意,此公理只适应于刚体而 不适应于变形体。 推论1 力的可传性原理 3 作用于刚体上的力,可以沿其作用线移至刚体内任意一点,而不改变该力对 物体的作用效果。力对刚体的效应与力的作用点在其作用线上的位置无关。因此, 作用于刚体上的力的三要素是:力的大小、方向、作用线 三力平衡汇交定理 若刚体受到同平面内三个互不平行的力的作用而平衡时,则该三个力的作用 线 作用和反作用定律 作用力和反作用力总是大小相等,方向相反,作用线相同,但同时分别作用 在两个相互作用的物体上。 这个公理表明,力总是成对出现的,只要有作用力就必有反作用力,而且同 时存在,又同时消失。 公理5 刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡,如将此变形体刚化为刚体,其平衡状态 保持不变。 这个公理提供了把变形体抽象为刚体模型的条件。 4 §1.2 约束与约束反力 在工程实际中,构件总是以一定的形式与周围其他构件相互联结,即物体的 运动要受到周围其他物体的限制,如机场跑道上的飞机要受到地面的限制,转轴 要受到轴承的限制,房梁要受到立柱的限制。这种对物体的某些位移起限制作用 的周围其他物体称为约束,如轴承就是转轴的约束。约束限制了物体的某些运动, 所以有约束力作用于物体,这种约束对物体的作用力称为约束力。工程实际中将 物体所受的力分为两类:一类是能使物体产生运动或运动趋势的力,称为主动力, 主动力有时也叫载荷;另一类是约束反力,它是由主动力引起的,是一种被动力。 一、柔性约束(柔索) 柔性约束由绳索、胶带或链条等柔性物体构成。只能受拉,不能受压。只能 限制沿约束的轴线伸长方向。 柔性约束对物体的约束反力是:作用在接触点,方向沿着柔体的中心线背离 物体。通常用F T表示。见图1-8 二、刚性约束 当两物体接触面之间的摩擦力小到可以忽略不计时,可将接触面视为理想光 滑的约束。这时,不论接触面是平面或曲面,都不能限制物体沿接触面切线方向 的运动,而只能限制物体沿着接触面的公法线指向约束物体方向的运动。因此, 光滑接触面对物体的约束反力是:通过接触点,方向沿着接触面公法线方向,并 指向受力物体。这类约束反力也称法向反力,通常用 FN 表示。见图1-9 5 三、光滑圆柱形铰链约束 1.连接铰链 两构件用圆柱形销钉连接且均不固定,即构成连接铰链,其约束反力用两个 正交的分力Fx和 Fy表示。见图1-10 2. 固定铰链支座 如果连接铰链中有一个构件与地基或机架相连,便构成固定铰链支座,其约 束反力仍用两个正交的分力 Fx和 Fy表示。见图1-11 6 3.活动铰链支座 在桥梁、屋架等工程结构中经常采用这种约束。在铰链支座的底部安装一排 滚轮,可使支座沿固定支承面移动,这种支座的约束性质与光滑面约束反力相同, 其约束反力必垂直于支承面,且通过铰链中心。见图1-12 四、固定端约束 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动,也能限制物体在约束处的转动。 所以,固定端A处的约束反力可用两个正交的分力 F 、F 和力矩为M 的力偶 AX AY A 表示。见图1-13 7 五、球铰链支座 球铰链是一种空间约束,它能限制物体沿空间任何方向移动,但物体可以绕 其球心任意转动。球铰链的约束反力可用三个正交的分力 F 、F 、F 表示。 AX AY AZ 见图1-14 §1.3 受力图 在工程实际中,常常需要对结构系统中的某一物体或部分物体进行力学计 算。这时就要根据已知条件及待求量选择一个或几个物体作为研究对象,然后对 它进行受力分析。即分析物体受那些力的作用,并确定每个力的大小、方向和作 用点。为了清楚地表示物体的受力情况,需要把所研究的物体(称为研究对象) 从与它相联系的周围物体中分离出来,单独画出该物体的轮廓简图,使之成为分 离体,在分离体上画上它所受的全部主动力和约束反力,就称为该物体的受力图。 画受力图是解平衡问题的关键,画受力图的一般步骤为: (1) 据题意确定研究对象,并画出研究对象的分离体简图。 (2) 在分离体上画出全部已知的主动力。 (3) 在分离体上解除约束的地方画出相应的约束反力。 画受力图时要分清内力与外力,如果所取的分离体是由某几个物体组成的物 体系统时, 通常将系统外物体对物体系统的作用力称为外力,而系统内物体间 相互作用的力称为内力。 内力总是以等值、共线、反向的形式存在,故物体系 8 统内力的总和为零。因此,取物体系统为研究对象画受力图时,只画外力,而不 画内力。 例1-1 重量为G的均质杆AB,其B端靠在光滑铅垂墙的顶角处,A端放在光滑 的水平面上,在点D处用一水平绳索拉住,试画出杆AB的受力图。 例1-2 AB杆A处为固定铰链连接,B处置于光滑水平面,并由钢绳拉着,钢绳 绕过滑轮C,画出AB杆的受力图。 9 例1-3 如图1-15a所示,水平梁AB用斜杆CD支承,A、C、D三处均为光滑铰 链连接。匀质梁 AB 重 G1,其上放一重为 G2 电动机。若不计斜杆 CD 自重,试分 别画出斜杆CD和梁AB(包括电动机)的受力图。 10 解 (1) 斜杆CD的受力图取斜杆CD为研究对象,由于斜杆CD自重不计,并 且只在C、D两处受铰链约束而处于平衡,因此斜杆CD为二力构件。斜杆CD的 约束反力必通过两铰链中心C与D 的连线,用FC和 FD表示。如图1-15b所示。 (2) 梁AB的受力图取梁AB(包括电动机)为研究对象,梁AB受主动力G1和G2 的作用。在D处为铰链约束,约束反力FD与 FD是作用与反作用的关系,且 FD=-FD。A处为固定铰链支座约束,约束反力用两个正交的分力 FAx和 FAy表 示,方向可任意假设。如图1-15c所示。 例 1-4 画出图示构架受力图。 分析可知,CD为二力构件,AB为三力构件,可对A点约束力进行分解,也 可用三力平衡汇交定理确定其方向。 11 例1-5 如图所示,复合横梁ABCDE的A端为固定端支座,B处为连接铰链,C 处为活动铰链支座。已知作用于梁上的主动力有载荷集度为q的均布载荷和力偶 矩为T的集中力偶。试画出梁整体ABCD和其AB部分与BCD部分的受力图。 12 解 (1) 取整体ABCD为研究对象 作用于梁上的主动力有均布载荷q及D端 力偶矩为T的集中力偶。在固定端支座A处的约束反力有正交分力 RAx和RAy, 以及力偶矩为MA的集中力偶,它们的方向可以任意假设。在活动铰链支座C处 作用有约束反力 RC,方向指向梁。 (2) 取梁AB部分为研究对象 在后段作用有均布载荷q,在固定端支座A处作 用有约束反力 RAx和RAy,以及力偶矩为MA的集中力偶。在连接铰链B处的 约束反力有正交分力 NBx和 NBy,方向可以任意假设。 (3) 取梁BCD部分为研究对象 在梁CD段作用有均布载荷q,在D端作用有力 偶矩为T的集中力偶。在活动铰链支座D处作用有约束反力 RC,方向指向梁, 在连接铰链C处的约束反力为 NBx和 NBy,根据作用反作用定律,NBx=NBx, NBy=NBy。 例1-6 活动梯子置于光滑水平面上,由AC和BC两杆组成,用铰链A和绳子DE 连接,人的重量为G,画出整体及AC、BC杆的受力图。 13 例1-7 画出图示AB、BC杆及整体受力图。 14 例1-8 画出图示BD、AE杆受力图。 15 16 本章重点及难点 1. 提出了静力学的基本概念:力、平衡、刚体。 2. 力是物体之间的相互机械作用。力的三要素是力的大小、方向和作用点。力 是矢量。 3. 静力学公理是研究静力学的基础。 公理1(力的平行四边形法则) 说明力的运算符合矢量运算法则,是力系 合成与分解的基础。 公理2(二力平衡公理) 是最基本的力系平衡条件。 公理3(加减平衡力系公理) 是力系等效代换和简化的主要依据。 公理4(作用和反作用定律) 是研究物体系受力分析的基础。 公理5(刚化原理) 提供了把变形体抽象为刚体模型的条件。 4.作用于物体上的力可分为主动力与被动约束反力。约束反力是限制被约束物体 运动的力,它作用于物体的约束接触处,其方向与物体被限制的运动方向相反。 常见的约束类型有: 17 (1) 柔性约束 只能承受沿柔索的拉力。 (2) 光滑接触面约束 只能承受位于接触点的法向压力。 (3) 光滑圆柱形铰链约束 通常用两个正交的约束反力表示。 (4) 固定端约束 通常用两个正交的约束反力与一个力偶表示。 (5) 球铰链 通常用三个正交的约束反力表示。 5. 受力图 在解除约束的分离体简图上,画出它所受的全部外力的简图,称 为受力图。 画受力图时应注意:只画受力,不画施力; 只画外力,不画内力; 解除约束后,才能画上约束反力。 第二章 基本力系 本章将介绍解析法研究汇交力系的简化与平衡,力矩的计算与合力矩定理, 力偶系的性质、简化与平衡。 §2.1汇交力系简化与平衡的解析法(力在直角坐标轴上的投影 合力投影定理 等) 各力的作用线汇交于一点的力系称为汇交力系。用力的平行四边形法则可以 求得两力的合力,用此法则也可以求得多个汇交力的合力。对于包含n个汇交力 的力系F1, F2 ,...,Fn,所合成的合力 FR即为 FR=F1+F2+…+ Fn=ΣF (2-1) 一.力在直角坐标轴上的投影 1.一次投影法 若已知力F与直角坐标系oxyz三轴间的正向夹角分别为α、β、γ,如图 2-1(a)、(b),则力 F 在这三个轴上的投影可表示为 Fx= Fcosα Fy= Fcosβ 18 (2-2) Fz= Fcosγ 可以看出,力与投影轴正向夹角为锐角时,其投影为正;力与投影轴正向夹 角为钝角时,其投影为负。故力在直角坐标轴上的投影是代数量。应当注意,在 直角坐标系中,分力的大小和投影的绝对值相等,但投影是代数量,分力是失量。 2.二次投影法 可以先求出力在此坐标轴的分力 Fxy,然后再求力 F 在三个直角坐标轴投影, 如图2-1(c),于是力 F 在这三个轴上的投影分别为: 19 Fx = Fsinγcosψ Fy = Fsinγsinψ (2-3) Fz = Fcosγ 若为平面力,则只须直接向x、y轴投影即可。 3.合力投影定理 将式(2-1)两边分别向三个直角坐标轴上投影,有 FRx=F1x+F2x +...+Fnx=ΣFx FRy=F1y+F2y +...+Fny=ΣFy (2-4) FRz=F1z+F2z +...+Fnz=ΣFz 即合力在某一轴上的投影,等于各分力在同一轴上投影的代数和。 二、汇交力系的合成与平衡 1. 汇交力系合成的解析法 设在刚体上作用有汇交力系 F1,F2,...,Fn,由合力投影定理可求得合力 FR在三个直角坐标轴投影FRx、FRy、FRz,于是合力的大和方向可由下式确定 (2-5) 若力系为平面力系,则合力的大小和方向为 (2-6) 20 2. 汇交力系平衡的解析条件 从前面知道,汇交力系平衡的充要条件是合力等于零, 即 FR=ΣF=0 所以 ΣFx=0 ΣFy=0 (2-7) ΣFz=0 式(2-7)称为汇交力系的平衡方程,它表明汇交力系平衡的解析条件是力系 中各力在三个直角坐标轴投影的代数和分别等于零。利用这三个互相独立的方 程,可以求解三个未知数。 若力系为平面汇交力系,则平面汇交力系平衡的解析条件为 ΣFx=0 ΣFy=0 当用解析法求解平衡问题时,未知力的指向可以假设,如计算结果为正值, 则表示所假设力的指向与实际相同;如为负值,则表示所假设力的指向与实际相 反。 21 例2-1 用解析法求图示汇交力系的合力。 解 图 2-2 例 2-2 直杆 AB、AC 铰接于 A 点,自重不计,在 A 点挂一物重 G=1000N,并用绳 子AD吊住,如图2-3所示。已知AB和AC等长且互相垂直,∠OAD=30°,B、C 均为球铰接,求杆AB和AC及绳子AD所受的力。 图2-3 22 解 取销钉A为研究对象,其受力图,如图2-3所示,是一空间汇交力系。取 直角坐标系Axyz,列平衡方程为 ΣFx=0 -FAC-FTcos30°sin45°=0 (1) ΣFy=0 -FAB-FTcos30°cos45°=0 (2) ΣFz=0 -FTsin30°-G=0 (3) 由式(1)、(2)、(3)解得 FT=2000N,FAB=FAC=-1225N FAB、FAC均为负值,说明所假设力的指向与实际相反,即两杆均受压 力。 例2-3 如图所示,已知重物重量为G,求AB、AC杆所受的力。 23 解 取销钉A为研究对象,其受力图如上图所示,为平面汇交力系,取直角坐 标系Axy。 列平衡方程 T1=T2=G 所以,AB杆受拉力,大小为3.414G; AC杆受压力(S2为负值),大小为0.707G。 §2.2 力矩(力对点之矩 合力矩定理 力对轴之矩) 24 实践表明,力对刚体的作用效应,不仅可以使刚体移动,而且还可以使刚体 转动。其中移动效应可用力矢来度量,而转动效应可用力矩来度量。 一. 力对点之矩 如图2-5所示,当用扳手拧紧螺母时,力 F 对螺母拧紧的转动效应不仅与力 F 的大小 有关,而且还与转动中心O至力F 的垂直距离有关。 因此,可用两者的乘积Fd来度量力使物体绕点O的转动效应,称为力 F 对 点O之矩,简称力矩,以符号MO(F)表示,即 MO(F)=±Fd 式中,点 O称为矩心,d称为力臂。力矩是一个代数量,其正负号规定如下:力 使物体绕矩心逆时针转动时,力矩取正号,反之为负。 由力矩的定义及计算式可知:力的作用线通过矩心时,力臂值为零,故力矩 等于零。当力沿作用线滑动时,力臂不变,因而力对点的矩也不变。 力矩的单位是牛[顿]米(N.m) 二. 合力矩定理 合力矩定理:平面力系的合力对平面上任一点之矩,等于各分力对同一点之 矩的代数和。 MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+...+MO(Fn)=∑MO(F) 例2-4 圆柱直齿传动中,已知轮齿啮合面间的作用力为Fn=1KN,啮合角α= 20°,齿轮分度圆直径d=60mm。试计算力对轴心O的力矩。 25 图2-6 解 将力 Fn沿半径r方向分解成一组正交的圆周力Ft=Fncosα与径向力Fr =Fncosα。 三. 力对轴之矩 从空间角度来看,扳手绕O点的转动,实际上是绕过O点且垂直于扳手平面 的轴线)。所以,也可以说力F 对O点之矩也是力 F 使刚体 绕Oz轴转动效应的度量,称力 F 对Oz轴之矩,用Mz(F)表示。 26 力 F 分解为平行于Oz轴的分力 Fz和垂直于Oz轴的分力 Fxy(图2-6)。分力 Fz不能使刚体绕Oz轴转动,因此力 F 使刚体绕Oz轴转动的效应可用分力 Fxy 对Oz轴的矩来度量,即 Mz(F)=MO(Fxy)=±Fxyd 空间力对轴之矩等于此力在垂直于该轴平面上的分力对轴与平面交点之矩。 力对轴之矩是一个代数量,规定从z轴的正向回头看去,若力在垂直于该轴平面 上的分力使刚体绕轴逆时针转动为正,反之为负。 图2-7 当力与轴相交(d 或力与轴平行(Fxy=0)时,即力与轴共面时,力对轴之 矩等与于零。见图2-7 对于空间力系问题,合力矩定理又可写为 27 Mz(FR)=∑Mz(F) 即:合力对某轴之矩,等于各分力对同一轴之矩的代数和。 图2-8 2-5 如图所示托架套在转轴z上,力F=100N,求力 F 对z轴之矩。 28 图2-9 解 将力 F 沿坐标轴方向分解为三个分力 Fx 、Fy 、Fz,其大小分别为 由合力矩定理得 §2.3 力 偶 一. 力偶及其力偶矩 由大小相等,方向相反,而作用线不重合的两个平行力组成的力系称为力 偶, 记作 (F,F)。力偶中两力所在的平面称为力偶作用面,两力作用线间的 垂直距离d称为力偶臂 M=±Fd 力偶矩是代数量,一般规定使物体逆时针转动为正,顺时针转动为负。 29 力偶矩的单位是牛[顿]米(N.m) 图2-10 二. 力偶的性质 性质1 力偶既无合力,也不能和一个力平衡,力偶只能用力偶来平衡。 力偶是由两个力组成的特殊力系,在任一轴上投影的代数和为零,故力偶不 能合成一个合力,或用一个力来等效替换。力和力偶是静力学的两个基本要素, 力偶对刚体只能产生转动效应,而力对刚体可产生移动效应,也可产生转动效应, 所以,力偶也不能用一个力来平衡。 性质2 力偶对其作用面内任一点之矩恒为常数,且等于力偶矩,与矩心的 位置无关。 这个性质说明力偶使刚体绕其作用面内任一点的转动效果是相同的。 30 性质3 力偶可在其作用面内任意转移,而不改变它对刚体的作用效果。 拧瓶盖时,可将力夹在A、B位置或C、D位置,其效果相同,如图2-11 图 2-11 性质4 只要保持力偶矩的大小和转向不变,可以同时改变力偶中力的大小 和力偶臂的长短, 而不改变其对刚体的作用效果。 因此,力偶可用力和力偶臂来表示,即用带箭头的弧线表示,箭头表示力偶 的转向,M表示力偶的大小。如图2-12 图 2-12 三、平面力偶系的简化与平衡 在同一平面内由若干个力偶所组成的力偶系称为平面力偶系。平面力偶系的 简化结果为一合力偶, 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即 M=M1+M2+…+Mn=∑M 平面力偶系的简化结果为一合力偶,因此平面力偶系平衡的充要条件是合力 偶矩等于零。即 ∑M=0 31 本章重点及难点 1.空间力在空间坐标轴上的投影有一次投影法和二次投影法 2.合力投影定理。即合力在某一轴上的投影,等于各分力在同一轴上投影的代数 和。 3.汇交力系合成的解析法 4.汇交力系的平衡方程 ΣFx=0 ΣFy=0 ΣFz=0 5.力矩是度量力对物体转动效应的物理量,它与矩心的位置有关,其大小为 MO(F)=±Fd 其中,力臂d是指矩心O到力F作用线.合力矩定理 平面力系的合力对平面上任一点之矩,等于各分力对同一点之矩的代数和。 32 MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)=∑MO(F) 合力对某轴之矩,等于各分力对同一轴之矩的代数和。 Mz(FR)= ∑Mz(F) 7.力偶是由大小相等、方向相反,作用线不重合的两个平行力组成的力系,使刚 体产生转动效应。 8.力偶的性质 (1) 力偶既无合力,也不能和一个力平衡,力偶只能用力偶来平衡。 (2) 力偶对其作用面内任一点之矩恒为常数,且等于力偶矩,与矩心的位置 无关。 (3) 力偶可在其作用面内任意转移,而不改变它对刚体的作用效果。 (4) 只要保持力偶矩的大小和转向不变,可以同时改变力偶中力的大小和力 偶臂的长短,而不改变其对刚体的作用效果。 9.平面力偶系的简化结果为一合力偶,合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。 M=M1+M2+…+M3=∑M 10.平面力偶系的平衡方程是 ∑M=0 第三章 一般力系 一般力系又称为任意力系,可分为空间任意力系和平面任意力系。当力系中 各力的作用线任意分布在空间时,称空间任意力系,这是力系中最普遍的形式。 如图3-1所示。 图3-1 33 §3.1 力的平移定理 作用于刚体上的力,可以平行移动到该刚体上任意一点,但必须附加一个力 偶,其力偶矩等于原来的力对平移点之矩。现在我们进一步讨论当力平行移动到 作用线外任意位置且又要保持其作用效果不变时,应附加什么条件?力的平移定 理回答了这一问题。 力的平移定理 作用于刚体上的力,可以平行移动到该刚体上任意一点, 但必须附加一个力偶,其力偶矩等于原来的力对平移点之矩。 图3-2 证明 如图3-2所示,在刚体上任取一点O,在O点附加两个等值、反向共线 且与F平行的力F和F,使F=F。显然,该力系和F等效。其中F和F 构成一力偶,于是原来作用在A点的力F,现在被一个作用在O点的力F和一 个力偶(F,F)等效代替,这个力偶的力偶矩为M=Fd。其中,d是附加力偶 的力偶臂,也是O点到力F作用线的垂直距离,因此力F对O点矩也为MO(F) =Fd。 由此证得 M=MO(F) 34 此定理不仅是力系简化的主要依据,而且可以解决一些实际问题。例如,用 铰杠丝锥在工件上攻螺纹时,要求双手均匀用力,此时铰杠丝锥受到一个力偶 (F,F)作用,如图3-3所示,如果双手用力不均或者单手用力,则此时铰杠 受到一个力和一个附加力偶作用,这个力常导致丝锥折断。 图3-3 又如图3-4所示转轴上的齿轮所受的圆周力F的作用,将力F平移至轴心O 点,则力F使轴弯曲,而力偶矩M使轴扭转。 35 图 3-4 §3.2 平面任意力系的简化 一. 平面一般力系向作用面任一点简化 设在刚体上作用有平面一般力系 F1、F2、…、Fn,分别作用于 A1、A2、…、 An各点。在该平面内任取一点O,称为简化中心。应用力的平移定理,将各力平 移到O点,得到一个作用于O点的力系(F1、F2、…、Fn)和一个附加的平 面力偶系(M1、M2、…、Mn)。这样,就将原力系等效变换为两个基本力系: 平面汇交力系和平面力偶系。 图3-5 其中 各力矢分别为 F1=F1,F2=F2,…,Fn=Fn, 各力偶矩分别为 M1=MO(F1) ,M2=MO(F2) ,…,Mn= MO(Fn) 平面汇交力系 F1、 F2、…、Fn可合成为一个通过O点的一个力 FR,称 为主矢量。 FR=F1+F2+…+Fn=F1+ F2+…+Fn=∑F 当取不同的简化中心时,主矢量的大小和方向保持不变。其大小和方向可以 用下式计算 式中,α为主矢量 FR的作用线、…、Mn的可合成一个力偶,称为主矩。 MO=M1+M2+…+Mn=∑M 表明主矩等于原力系中各力对O点之矩的代数和。 原力系与主矢量 FR和主矩MO的共同作用等效,如图3-5所示。主矢量 FR 的大小和方向与简化中心的选择无关,主矩MO的大小和转向与简化中心的选择 有关。 综上所述,平面一般力系向作用面任一点O简化,可得到一个作用在简化中 心的主矢量和一个作用于原平面内的主矩,主矢量等于原力系中各力的矢量和, 而主矩等于原力系中各力对点之矩的代数和。 二. 平面一般力系的简化结果分析 平面一般力系向一点简化,一般可得到一个主矢 FR和一个主矩MO,但这不 是最终简化结果,最终简化结果通常有以下四种情况。 1.FR=0,MO≠0 表明原力系与一个力偶等效,原力系简化为一个合力 偶,其力偶矩为MO=∑MO(F),此时主矩MO与简化中心的选择无关。 2.FR≠0,MO=0 表明原力系与一个主矢量 FR等效,即 FR为原力系的 合力,其作用线 根据力的平移定理的逆过程,可以将 FR和MO合成为 一个合力。合 FR的作用线到简化中心O的距离为 图3-6 37 4.FR=0,MO=0 表明原力系为平衡力系,则刚体在此力系作用下处于 平衡状态。 例3-1 铆接薄钢板,在铆钉B、C、D上分别受到力 F1 、F2和 F3的作用,如 图3-7所示。已知F1=100N,F2=50N,F3=200N。图中尺寸单位为cm。求(1) 力系间A点、D点的简化结果;(2)力系简化的最终结果;(3)以上三种情况的简 化结果是否等效。 图3-7 解 (1) 主矢量 FR的大小和方向分别为: 38 指向第一象限 矢量的大小和方向与简化中心的选择无关,故向A点或D点简化得到的主矢量相 同。 力系对A点和D点的矩分别为: (2) 由于FR≠0,所以力系简化的最终结果为一合力 FR。FR的大小和方向 与主矢量相同。合力作用线) 力系上述三种简化结果,从形式上是不同的,但都与原力系等效,所以, 三种情况的简化结果是等效的。 §3.3 平面任意力系的平衡方程 一. 平面一般力系的平衡方程 1. 基本形式 平面一般力系向作用面任一点O简化,可得到一个主矢量FR和一个主矩MO, 如果 FR=0,MO=0,则平面一般力系必平衡;反之,如果平面一般力系平衡, 必有 FR=0,MO=0。因此,平面一般力系平衡的充要条件是: FR=0 MO=∑MO(F)=0 故得平面一般力系的平衡方程为 ∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MO(F)=0 39 平面一般力系平衡方程的基本形式,它含有三个独立的方程,因而最多能解 出三个未知量。 2.二矩式 ∑Fx=0 ∑MA(F)=0 ∑MB(F)=0 其中A、B两点的连线.三矩式 ∑MA(F)=0 ∑MB(F)=0 ∑MC(F)=0 其中 A、B、C三点不能在一条直线上。 二. 平面平行力系的平衡方程 在基本式中,坐标轴是任选的。现取y轴平行各力,则平面平行力系中各力 在x轴上的投影均为零,即∑Fx ≡0。于是平面平行力系只有两独立的平衡方程, 即 ∑Fy=0 ∑MO(F)=0 不难看出,平面平行力系的二矩式平衡方程为 ∑MA(F) =0 ∑MB(F) =0 其中 A、B两点的连线不能与各力平行。 平面平行力系只有两个独立的方程,因而最多能解出两个未知量。 三.应用平面一般力系平衡方程的解题步骤如下: (1) 根据题意,选取适当的研究对象。 (2) 受力分析并画受力图。 (3) 选取坐标轴。坐标轴应与较多的未知反力平行或垂直。 (4) 列平衡方程,求解未知量。列力矩方程时,通常选未知力较多的交点 为矩心。 (5) 校核结果。 40 应当注意:若由平衡方程解出的未知量为负,说明受力图上原假定的该未知 量的方向与其实际方向相反。而不要去改动受力图中原假设的方向。 例3-2 已知F=15kN,M=3kN.m,求A、B处支座反力。 解 (1) 画受力图,并建坐标系 (2) 列方程求解 图3-8 例3-3 如图3-9所示外伸梁上作用有集中力FC=20kN,力偶矩M=10kN.m , 载荷集度为q=10kN/m的均布载荷。求支座A、B处的反力。 图3-9 解 取水平梁AB为研究对象, 画受力图如图3-9(b)所示。 列平衡方程并求解 41 结果均为正,说明图示方向与实际方向一致。 例3-4 塔式起重机如图3-10所示。设机架自重为G,重心在C点,与右轨距离 为 e,载重 W,吊臂最远端距右轨为 l,平衡锤重 Q,离左轨的距离为 a,轨距为 b。试求塔式起重机在满载和空载时都不致翻倒的平衡锤重量的范围。 图3-10 42 解 取塔式起重机为研究对象,作用在起重机上的力有重物W、机架重G、平 衡锤的重力Q及钢轨的约束反力NA和NB,这些力构成了平面平行力系,起重机 在该平面平行力系作用下平衡。 (1)满载时 W=Wmax,Q=Qmin,机架可能绕B点右翻,在临界平衡状态, A处悬空,NA=0,受力图如图3-10b所示。则 (2)空载时 W=0,Q=Qmax,机架可能绕A点左翻,在临界平衡状态,B 处悬空,NB=0,受力图如图3-10c所示。则 故 平衡锤的范围应满足不等式 43 例3-5 一简易起重机如图3-11所示。横梁AB的A端为固定铰支座,B端用拉 杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1=4kN,载荷G2=12kN,横梁长L=6m,α= 30°,求当载荷距A端距离x=4m时,拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。 图3-11 44 §3.4 物体系统的平衡 前面讨论了单个刚体的平衡问题。但在工程实际中经常需求解若干刚体用一 定方式连接起来的物体系统的平衡问题,简称物系的平衡问题。对于这类问题, 在受力分析时应注意内力和外力。所谓内力就是物体系统内物体与物体之间的相 互作用力;而外力是研究对象以外的其它物体对研究对象作用的力。对于同一物 体系统,选不同物体为研究对象时,内力和外力是相对的,是随所选研究对象的 不同而改变的。根据作用与反作用定律,内力总是成对出现的,因此在分离体上 只画外而不画内力。 当物体系统平衡时,组成该系统的每一物体都处于平衡,所以,可以取整个 系统为研究对象,也可以取其中某个物体或某几个物体为研究对象,这就要根据 具体情况以便于求解为原则来适当的选取。因此,如何根据解题的需要正确选取 研究对象,就成为求解物体系统平衡问题是一个很重要的问题。 例3-6 如图3-12所示曲柄连杆机构,由曲柄OA、连杆AB和滑块B组成,已知 作用在滑块上的力F=10KN,如不计各构件的自重和摩擦,求作用在曲柄上的力 偶矩M多大时方可保持机构平衡。 45 解 (1)取滑块B为研究对象,画受力图如图所示,列平衡方程 (2)取曲柄OA为研究对象,画受力 图如图所示,列平衡方程 图3-12 例3-7 复合梁在铰B处用铰链连接,其上作用有力偶矩为M的集中力偶和集度 为q的均布载荷。已知l、M、q,试求固定端A和活动铰链C的约束力。 解 在整体受力图上有4个未知力,如图3-13所示,梁AB受力图上有5个未 知反力,如图3-13所示,而梁BCD的受力图上仅有三个未知反力,如图所示, 故先取梁BCD为研究对象,求出FNC。 列平衡方程 再取整体为研究对象 列平衡方程 46 例3-8 试求如图3-14所示的桁架中4、5、6 杆的内力,已知F1=40kN, F2=10kN。 47 图3-14 解 取桁架整体为研究对象,受力分析如图3-14(b)所示。先求支座反力,列 平衡方程 48 再求4、5、6杆的内力。假想用Ⅰ—Ⅰ截面将4、5、6杆截断,取桁架右半 部分为研究对象,受力图如图3-14(c)所示 §3.5 空间任意力系平衡问题的平面解法 若作用在物体上的空间力系是平衡的,则此力系在任意一平面上的投影也必 然是相互平衡的。这样,我们就可以把空间力系的平衡问题转化为三个平面力系 的平衡问题来求解,这种方法特别适合解决轴类零

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