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工程力学温习常识点doc

工程力学

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  一、静力学 1.静力学基本概念 (1)刚体 刚体:形状大小都要考虑的,在任何受力情况下体内任意两点之间的距离始终保持不变的物体。在静力学中,所研究的物体都是指刚体。所以,静力学也叫刚体静力学。 (2)力 力是物体之间的相互机械作用,这种作用使物体的运动状态改变(外效应)和形状发生改变(内效应)。在理论力学中仅讨论力的外效应,不讨论力的内效应。力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点,因此力是定位矢量,它符合矢量运算法则。 力系:作用在研究对象上的一群力。 等效力系:两个力系作用于同一物体,若作用效应相同,则此两个力系互为等效力系。 (3)平衡 物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线(二力平衡公理)作用在同一刚体上的两个力成平衡的必要与充分条件为等大、反向、共线(加减平衡力系公理)在任一力系中加上或减去一个或多个平衡力系,不改变原力系对刚体的外效应。 推论(力的可传性原理)作用于刚体的力可沿其作用线移至杆体内任意点,而不改变它对刚体的效应。 在理论力学中的力是滑移矢量,仍符合矢量运算法则。因此,力对刚体的作用效应取决于力的作用线(力的平行四边形法则)作用于同一作用点的两个力,可以按平行四边形法则合成。 推论(三力平衡汇交定理)当刚体受三个力作用而平衡时,若其中任何两个力的作用线相交于一点,则其余一个力的作用线必交于同一点,且三个力的作用线在同一个平面内。 公理4(作用与反作用定律)两个物体间相互作用力同时存在,且等大、反向、共线,分别作用在这两个物体上。 公理5(刚化原理)如变形物体在已知力系作用下处于平衡状态,则将此物体转换成刚体,其平衡状态不变。可见,刚体静力学的平衡条件对变形体成平衡是必要的,但不一定是充分的。 (5)约束和约束力 1)约束:阻碍物体自由运动的限制条件。约束是以物体相互接触的方式构成的。 2)约束力:约束对物体的作用。约束力的方向总与约束限制物体的运动方向相反。表4.1-1列出??工程中常见的几种约束类型、简图及其对应的约束力的表示法。其中前7种多见于平面问题中,后4种则多见于空间问题中。 表4.1-1 工程中常见约束类型、简图及其对应约束力的表示 约束类型约束简图约束力矢量图约束力描述柔索类作用点:物体接触点 方位:沿柔索 方向:背离被约束物体 大小:待求 这类约束为被约束物体提供拉力。A TB TA A 光滑面接触单面约束: 作用点:物体接触点 方位:垂直支撑公切面 方向:指向被约束物体 大小:待求 这类约束为物体提供压力。A A NA NA NA 双面约束:假设其中一个约束面与物体接触,绘制约束力,不能同时假设两个约束面与物体同时接触。 作用点:物体接触点 方位:垂直共切面 方向:指向被约束物体 大小:待求 这类约束为物体提供压力。短链杆(链杆)作用点:物体接触点 方位:沿链杆两铰点的连线 方向:不定 大小:待求中间铰(连接铰)作用点:物体接触点,过铰中心 方位:不定 方向:不定 大小:待求 用两个方位互相垂直,方向任意假设的分力,表示该约束处的约束力固定铰作用点:物体接触点,过铰中心 方位:不定 方向:不定 大小:待求 用两个方位互相垂直,方向任意假设的分力,表示该约束处的约束力辊轴支座(活动铰)作用点:物体接触点,过铰中心 方位:垂直支撑面 方向:不定 大小:待求固定端在约束面内既不能移动也不能转动,用两个方位互相垂直、方向任意假设的两个分力表示限制移动的力,用作用面与物体在同一平面内的、转向任意假设的集中力偶表示限制转动的力偶。向心轴承Y向可微小移动,用方位互相垂直、方向任意假设的两个分力,表示限制径向的移动止推轴承三个方向都不允许移动,用三个互相垂直的力表示限制的移动。球形铰空间任意方向都不允许移动,用方位相互垂直,方向任意的三个分力来代替这个约束力空间固定端三个轴向都不允许移动和转动,用三个方位相互垂直的分力来代替限制空间移动的约束力,并用三个矢量方位相互垂直,转向任意的力偶代替限制转动的约束力偶 (6)受力分析图 受力分析图是分析研究对象全部受力情况的简图。其步骤是: 1)明确研究对象,解除约束,取分离体; 2)把作用在分离体上所有的主动力和约束力全部画在分离体上。 (7)注意事项 画约束力时,一定按约束性质和它们所提供的约束力的特点画,并在研究对象与施力物体的接触处画出约束力;会判断二力构件和三力构件,并根据二力平衡条件和三力汇交定理确定约束力的方位;对于方向不能确定的约束力,有时可利用平衡条件来判定;若取整体为分离体时,只画外力,不画内力,当需拆开取分离体时,内力则成为外力,必须画上;一定注意作用力与反作用力的画法,这些力的箭头要符合作用与反作用定律;在画受力分析图时,不要多画或漏画力,要如实反映物体受力情况;画受力分析图时,应注意复铰(链接两个或两个以上物体的铰)、作用于铰处的集中力和作用于相邻刚体上的线分布力等情况的处理方法。 2. 力的分解、力的投影、力对点之矩与力对轴之矩 (1)力沿直角坐标轴的分解和力在轴上的投影 式中:、、分别是沿直角坐标轴、、轴的基矢量;、、分别为沿直角坐标轴的分力;、、分别为在直角坐标轴、、轴上的投影,且分别为(如图4.1-1) 图4.1-1 式中:、、分别为与各轴正向间的夹角;则为在平面上的投影,如图4.1-1所示。 (2)力对点之矩(简称力矩) 在平面问题中,力对矩心的矩是个代数量,即 式中为矩心点至力作用线的距离,称为力臂。通常规定力使物体绕矩心转动为逆时针方向时,上式取正号,反之则取负号。 在空间问题中,力对点之矩是个定位矢量,如图4.1-2,其表达式为 图4.1-2 力矩的单位为或。 (3)力对轴之矩 图4.1-3 力对任一轴之矩为力在垂直轴的平面上的投影对该平面与轴交点之矩,即 其大小等于二倍三角形的面积,正负号依右手螺旋法则确定,即四指与力的方向一致,掌心面向轴,拇指指向与轴的指向一致,上式取正号,反之取负号。显然,当力与矩轴共面(即平行或相交)时,力对轴之矩等于零。其单位与力矩的单位相同。 从图4.1-3中可见,的面积等于面积在平面(即面)上的投影。由此可见,力对轴之矩等于力对轴上任一点的矩在轴上的投影,或力对点的矩在经过点的任一轴上的投影等于力对该轴之矩。这就是力对点之矩与对通过该点的轴之矩之间的关系。即 (4)合力矩定理 当任意力系合成为一个合力时,则其合力对于任一点之矩(或矩矢)或任一轴之矩等于原力系中各力对同点之矩(或矩矢)或同轴之矩的代数和(或矢量和)。 力对点之矩矢 力对点之矩 力对轴之矩 3.汇交力系的合成与平衡 (1)汇交力系:诸力作用线)汇交力系合成结果 根据力的平行四边形法则,可知汇交力系合成结果有两种可能:其一,作用线通过汇交点的一个合力,为;其二,作用线通过汇交点的一个合力等于零,即,这是汇交力系平衡的充要条件。 (3)汇交力系的求解 求解汇交力系的合成与平衡问题各有两种方法,即几何法与解析法,如表4.1-2所示。对于空间汇交力系,由于作图不方便一般采用解析法。 表4.1-2 求解汇交力系的两种方法 合力平衡条件几何法按力的多边形法则,得汇交力系的力的多边形示意图,其开口边决定了合力的大小和方位及指向,指向是首力的始端至末力的终端力的多边形自行封闭解析法平面汇交力系  、轴不相互平行;有两个独立方程,可解两个未知量空间汇交力系  、、轴不共面;有三个独立方程,可解三个未知量4.力偶理论 (1)力偶与力偶矩 1)力偶:等量、反向、不共线的两平行力组成的力系。 2)力偶的性质:力偶没有合力,即不能用一个力等效,也不能与一个力平衡。力偶对物体只有旋转效应,没有移动效应。力偶在任一轴上的投影为零。力偶只能与力偶等效或平衡。 3)力偶矩:力偶的旋转效应决定于力偶矩,其计算如表4.1-3所述。 表4.1-3 力偶矩的计算 平面力偶矩空间力偶矩矢 逆时针转向取正号;反之取负号大小: 方位:依右手螺旋法则,即四指与力的方向一致,掌心面向矩心,拇指指向为力偶矩矢的矢量方向。代数量自由矢量力偶矩的单位:或力偶的等效条件:等效的力偶矩矢相等推论1:只要力偶矩矢不变,力偶可在其作用面内任意转动或移动,或从刚体的一个平面移到另一个相互平行的平面上,而不改变其对刚体的旋转效应。推论2:在力偶矩大小和转向不变的条件下,可任意改变力偶的力的大小和力偶臂的长短,而不改变其对刚体的旋转效应。力偶矩与力对点之矩的区别:力偶矩与矩心位置无关,而力对点之矩与矩心位置有关表中,为组成力偶的力的大小,为力偶中两个力作用线间的垂直距离,称为力偶臂。 (2)力偶系的合成与平衡 力偶系合成结果有两种可能,即一个合力偶或平衡。具体计算时,通常采用解析法,如表4.1-4所述。 表4.1-4 力偶的合成与平衡的解析法 平面力偶系空间力偶系合成合力偶平衡平衡方程 可求解一个未知量 、、轴不共面;可求解三个未知量表中,、、分别为力偶矩矢在相应坐标轴上的投影。 注意,力偶中两个力和,对任一轴之矩的和等于该力偶矩矢在同一轴上的投影,即 式中,为矢量与轴的夹角。 (3)汇交力系和力偶系的平衡问题 首先选取分离体;然后画分离体受力分析图,在分析约束力方向时,注意利用力偶只能与力偶相平衡的概念来确定约束力的方向;接下来,列写平衡方程,对于力的投影方程,尽量选取与未知力垂直的坐标轴,使参与计算的未知量的个数越少越好,尽量使一个方程求解一个未知量,而力偶系的平衡方程与矩心的选取没有关系,注意区分力偶的矢量方向或是转向,确定好投影的正方向;最后求出结果,结果的绝对值表示大小,正负号表示假设方向是否与实际的指向一致,正号代表一致,负号则表示相反。 5.一般力系的简化与平衡 ( 1)力线平移定理 作用在刚体上的力,若其向刚体上某点平移时,不改变原力对刚体的外效应,必须对平移点附加一个力偶,该附加力偶矩等于原力对平移点之矩。 同理,根据力的平移定理可得:共面的一个力和一个力偶可合成为一个合力,合力的大小、方向与原力相等,其作用线离原力作用线)简化的一般结果 根据力线平移定理,可将作用在刚体上的任意力系向任一点O(称为简化中心)简化,得到一个作用在简化中心的共点力系和一个附加力偶系,进而可以合成为一个力和一个力偶。该力等于原力系向简化中心简化的主矢,该力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。 主矢 作用线通过简化中心 主矩 注:主矢的方向和大小与简化中心无关,只与原力系中各个分力相关,其作用线仍通过简化中心;主矩一般与简化中心的位置有关。 2)简化的最后结果 任意力系向一点简化后的最后结果,见表4.1-5。 表4.1-5 任意力系向一点的简化的最后结果 主矢主矩最后结果说明或平衡任意力系的平衡条件或合力偶此主矩与简化中心无关或合力合力的作用线过简化中心合力的作用线离简化中心的距离为力螺旋力螺旋中心轴(力的作用线)过简化中心与成角力螺旋中心轴(力的作用线)离简化中心的距离为3)平行分布的线载荷的合成 ①平行分布线载荷和线载荷集度 平行分布线载荷:沿物体中心线分布的平行力,简称线载荷。 线载荷集度:沿单位长度分布的线载荷,以表示,其单位为或。 ②同向线荷载合成结果 同向线荷载合成结果为一个合力,该合力的大小和作用线位置依据合力投影定理和合力矩定理求得。 均匀分布和线 线载荷合成结果 均匀分布的线载荷线性分布的线载荷力学简图合成结果作用在分布线长度中点的一个合力,其作用线的方向与线载荷的方向一致作用在距离线载荷集度为零的分布长度的处,也就是距离线载荷集度最大的分布长度的处,其作用线的方向与线载荷的方向一致大小 (3)力系的平衡条件与平衡方程 任意力系平衡条件:力系向任一点简化的主矢和主矩都等于零,即 表4.1-7列出了各力系的平衡方程。但应当指出,在空间力系和空间平行力系的平衡方程组中,其投影方程亦可用对轴的力矩方程来替代。当然,该力矩方程必须是独立的平衡方程,即可用它来求解未知量的平衡方程。 表4.1-7 力系的平衡方程 力系名称平衡方程的表示形式独立方程的数目平面力系汇交力系标准式一力矩式二力矩式2   说明(、轴不平行,不重合)(点和汇交点的连线不能垂直轴)(、连线不能通过汇交点)力偶系1平行力系标准式二力矩式2  说明(轴不能垂直各力)(、连线不能和各力平行)任意力系标准式二力矩式三力矩式3   说明 (、轴不平行,不重合)(、连线不能垂直轴)(、、三点不共线)空间力系汇交力系标准式一力矩式二力矩式三力矩式3    说明(任意两根轴不能平行、重合)(轴不能通过汇交点;轴不能垂直轴和轴所组成的平面;轴和汇交点所组成的平面不能垂直轴和轴组成的平面)(、轴不能通过汇交点;不能在、轴上 找到两点、,使、和汇交点共线;如、轴有交点,则轴不能垂直此交点和汇交点的连线)(、、三轴没有共同交点;如有一直线经过汇交点且和、两轴有交点,则此直线不能为轴;轴也不能和经过汇交点且和、两轴有交点的直线平行或相交;从汇交点不能引一直线 和、、三轴相交)力偶系标准式3 平行力系标准式三力矩式3  说明(轴平行各力,面垂直轴)(、、三条轴不能有共同交点;如果、轴有交点,经过点平行各力的直线为,则轴不能和直线共面;三条轴中任两条轴都不能共面;不能作出与三条轴都相交且平行的直线)任意力系标准式四力矩式五力矩式六力矩式6    说明(、、三轴不能平行,重合)(轴不能和轴共面)(、不能在所在平面 内; 、不能都和或轴相交,也不能和或轴共面)(轴与不共面,平面不过点)注:建议各力系的平衡方程用表格中的标准式。 6.物体系统的平衡 (1)静定与静不定问题 1)静定问题 若未知量的数目等于独立平衡方程的数目,则应用刚体静力学的理论,就可以求得全部未知量的问题,如图4.1-4(a)。 2)静不定(超静定)问题 若未知量的数目超过独立平衡方程的数目,则单独应用刚体静力学的理论就不能求出全部未知量的问题,如图4.1-4(b)。静不定问题仅用刚体平衡方程式不能完全求解所有未知量,还需考虑作用与物体上的力与物体变形的关系,再列出某些补充方程来求解。静不定问题已超出了理论力学所能研究的范围,将留待材料力学、结构力学等课程中取研究。 图4.1-4 3)静不定次(度)数 在超静定结构中,总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数 (2)物体系统平衡问题的解法和步骤 1)判断物体系统是否属于静定系统。物体系统是否静定,仅取决于系统内各物体所具有的独立平衡方程的个数以及系统未知量的总数,而不能由系统中某个研究对象来判断系统是否静定。若由个物体组成的静定系统,且在平面任意力系作用下平衡,则该系统总共可列出个独立平衡方程能解出个未知量。当然,若系统中某些物体受其他力系作用时,则其独立平衡方程数以及所能求出的未知量数均将相应变化。 2)选取研究对象的先后次序的原则是便于求解。根据已知条件和待求量,可以选取整个系统为研究对象,也可以取其中的某些部分或是某一物体为研究对象。 3)分析研究对象的受力情况并画出受力分析图。在受力分析图上只画外力而不画内力。在各物体的拆开出,物体间的相互作用力必须符合作用与反作用定律。画物体系统中某研究对象的受力分析图时,不能将作用在系统中其他部分上的力传递、移动和合成。 4)列出平衡方程。平衡方程要根据物体所作用的力系类型列出,不能多列。为了避免解联立方程,应妥当地选取投影轴和矩轴(或矩心)。投影轴应尽量选取与力系中多数未知力的作用线垂直;而矩轴应使其与更多的未知力共面(矩心应选在多数未知力的交点上)。力求做到一个平衡方程中只包含一个未知量。 5)由平衡方程解出未知量。若求得的约束力或约束力偶为负值。说明力的指向或力偶的转向与受力分析图中假设相反。若用它代入另一个方程求解其他未知量时,应连同其负号一起代入。 6)利用不独立平衡方程进行校核。 7.平面桁架 (1)定义 由若干直杆在两端用铰链彼此连接而成几何形状不变的结构成为桁架。杆件与杆件的连接点称为节点。所有杆件的轴线在同一平面内的桁架称为平面桁架,否则称为空间桁架。 (2)对于桁架的分析计算作如下假设 1)各杆件都用光滑铰链连接。 2)各杆件都是直杆。 3)杆件所受的外载荷都作用在节点上。对于平面桁架各力作用线)各杆件的自重或略去不计,或平均分配到杆件两端的节点上。 根据以上假设,桁架中各杆件都是二力构件,只受到轴向力作用,受拉或受压。 (3)平面桁架内力的计算方法 分析桁架的目的就在于确定各杆件的内力,通常有两种计算桁架内力的方法,如表4.1-8所述。当需要计算桁架中所有杆件的内力时,可采用节点法;若仅计算桁架中某几根杆件的内力,一般以截面法较为方便,但有时也可综合应用节点法和截面法。在计算中,习惯将各杆件的内力假设为拉力。若所得结果为正值,说明杆件是拉杆,反之则为压杆。 表4.1-8 平面桁架内力计算方法 节点法截面法研究对象取节点为研究对象将桁架沿某个面截成两部分,取其中一部分为研究对象平衡方程应用平面汇交力系平衡方程求解桁架内力应用平面任意力系平衡方程求解桁架内力为简化计算,一般先要判断桁架中的零力杆(内力为零的杆件),对于表4.1-9所述的三种情况,零力杆可以直接判断出。 表4.1-9桁架零力杆的判断 节点类型特点条件图示判断型节点节点上连接两根杆件,且只有两根杆件不重合、不共线节点上不受力两杆全是零力杆节点受一集中力,其方位与其中一根杆件的轴线共线杆件轴线不与力方位重合的杆件为零力杆型节点节点上连接三根杆件只有三根杆件,其中两根杆件的轴线共线,另一根杆件与这两根杆件不重合节点上不受力杆件轴线不与两根轴线共线杆件重合的杆件为零力杆9.物体的重心 (1)物体的重心是一确定的点,它与物体在空间的位置有关。 (2)物体的重心坐标公式 1)或 式中:、、表示物体重心的坐标;及表示各微小部分的重量;、、及、、表示各微小部分重心所在位置的坐标;表示物体的总重量。 2)当物体在同一近地表面时,其重心就是其质心,则质心坐标公式为 或 式中:、、表示物体质心的坐标;及表示各微小部分的质量;、、及、、表示各微小部分质心所在位置的坐标;表示物体的总质量。 3)当物体在同一近地表面及均质时,其重心就是体积中心,则体积中心的坐标公式为 或 式中:、、表示物体体积中心的坐标;及表示各微小部分的体积;、、及、、表示各微小部分体积中心所在位置的坐标;表示物体的总质量。 4) 当物体在同一近地表面、均质及等厚薄板时,其重心就是形心,则形心的坐标公式为 或 式中:、、表示物体形心的坐标;及表示各微小部分的面积;、、及、、表示各微小部分形心所在位置的坐标;表示物体的总面积。 一、轴向拉伸与压缩 (一)考试大纲 1.材料在拉伸、压缩时的力学性能 低碳钢、铸铁拉伸、压缩实验的应力-应变曲线.拉伸和压缩 轴力和轴力图;杆件横截面和斜截面上的应力;强度条件;胡克定律;变形计算。 (二)考点主要内容 要求:  = 1 \* GB3 ①了解轴向拉(压)杆的受力特征与变形特征;  = 2 \* GB3 ②了解内力、应力、位移、变形和应变的概念;  = 3 \* GB3 ③掌握截面法求轴力的步骤和轴力图的作法;  = 4 \* GB3 ④掌握横截面上的应力计算,了解斜截面上的应力计算;  = 5 \* GB3 ⑤熟悉胡克定律及其应用、拉(压)杆变形计算;  = 6 \* GB3 ⑥了解常用工程材料(低碳钢、铸铁)拉(压)时的力学性能,掌握强度条件的应用。 引言 材料力学的任务 材料力学是研究构件强度、刚度和稳定性计算的学科。这些计算是工程师选定既安全又最经济的构件材料和尺寸的必要基础。 强度是指构件在荷载作用下抵抗破坏的能力。 刚度是指构件在荷载作用下抵抗变形的能力。 稳定性是指构件保持其原有平衡形式的能力。 变形固体的基本假设 各种构件均由固体材料制成。固体在外力作用下将发生变形,故称为变形固体。材料力学中对变形固体所作的基本假设如下。  = 1 \* GB3 ①连续性假设:组成固体的物质毫无空隙地充满了固体的几何空间。  = 2 \* GB3 ②均匀性假设:在固体的体积内,各处的力学性能完全相同。  = 3 \* GB3 ③各向同性假设:在固体的各个方向上有相同的力学性能。  = 4 \* GB3 ④小变形的概念:构件由荷载引起的变形远小于构件的原始尺寸。 杆件的主要几何特征 杆件是指长度L远大于横向尺寸(高度和宽度)的构件。这是材料力学研究的主要对象。杆件的两个主要的几何特征是横截面的轴线 ①横截面:垂直于杆件长度方向的截面。  = 2 \* GB3 ②轴线:各横截面形心的连线。 若杆的轴线为直线,称为直杆。若杆的轴线为曲线,称为曲杆。 轴向拉伸与压缩 图5-1-1 轴向拉伸与压缩杆件的力学模型,如图5-1-1所示。  = 1 \* GB3 ①受力特征:作用于杆两端的外力的合力,大小相等、指向相反、沿杆件轴线 ②变形特征:杆件主要产生轴线方向的均匀伸长(缩短)。 轴向拉伸(压缩)杆横截面上的内力 内力 内力是由外力作用而引起的构件内部各部分之间的相互作用力。 截面法 截面法是求内力的一般方法。用截面法求内力的步骤如下。  = 1 \* GB3 ①截开:在须求内力的截面处,假想沿该截面将构件截开分为二部分。  = 2 \* GB3 ②代替:任取一部分为研究对象,称为脱离体。用内力代替弃去部分对脱离体的作用。  = 3 \* GB3 ③平衡:对脱离体列写平衡条件,求解未知内力。 截面法的图示如图5-1-2所示。 图5-1-2 轴力 轴向拉压杆横截面上的内力,其作用线必定与杆轴线相重合,称为轴力,以或N表示。轴力规定以拉力为正,压力为负。 轴力图 轴力图是表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化规律的图线。 轴向拉压杆横截面上的应力 轴向拉杆横截面上的应力垂直于截面,为正应力。正应力在整个横截面上均匀分布,如图5-1-4所示,其表示为 (5-1-1) 式中:为横截面上的正应力,N/m2或Pa;为轴力,N;A为横截面面积,m2。 F 2F F FN x (+) (-) F 轴向拉压杆斜截面上的应力 斜截面上的应力均匀分布,如图5-1-5,其总应力及应力分量为 总应力 (5-1-2) 正应力 (5-1-3) 切应力 (5-1-4) 式中:为由横截面外法线转至截面外法线的夹角,以逆时针转动为正;为斜截面m-m的截面积;为横截面上的正应力。以拉应力为正,压应力为负。以其对脱离体内一点产生顺时针力矩时为正,反之为负。 轴向拉压杆中最大正应力发生在的横截面上,最小正应力发生在的纵截面上,其值分别为 最大切应力发生在的斜截面上,最小切应力发生在的横截面和的纵截面上,其值分别为 图5-1-5 材料的力学性能 低碳钢在拉抻时的力学性能 低碳钢拉伸时的应力-应变曲线 低碳钢拉伸时的应力—应变曲线 这一曲线分四个阶段,有四个特征点,见表5-1-1。 表5-1-1 阶段图5-1-6中线段特征点说明弹性阶段Oab比例极限 弹性极限为应力与应变成正比的最高应力; 为不产生残余的最高应力屈服阶段bc屈服强度为应力变化不大而变形显著增加时的最低应力强化阶段ce抗拉强度为材料在断裂前所能承受的最大名义应力局部变形阶段ef产生颈缩现象到断裂应力-应变曲线上还有如下规律:  = 1 \* GB3 ①卸载定律:在卸载过程中,应力和应变按直线中的直线 ②冷作硬化:材料拉伸到强化阶段后,卸除荷载,再次加载时,材料的比例极限提高 而塑性降低的现象,称为冷作硬化,如图5-1-6中曲线中,段表示未经冷作硬化,拉伸至断裂后的塑性应变;段表示经冷作硬化,再拉伸到断裂后的塑性应变。 主要性能指标表5-1-2。 表5-1-2 主要性能指标表 性能性能指标说明弹性性能弹性模量E当≤时,强度性能屈服强度材料出现显著的塑性变形抗拉强度材料的最大承载能力塑性性能延伸率材料拉断时的变形程度截面收缩率材料的塑性变形程度 低碳钢的力学性能 低碳钢在压缩时的应力—应变曲线中实线所示。 低碳钢压缩时的比例极限、屈服强度、弹性模量E与拉伸时基本相同,但测不出抗拉强度。 铸铁拉伸时的力学性能 铸铁拉伸时的应力-应变曲线所示。 应力与应变无明显的线性关系,拉断前的应变很小,实验时只能测到抗拉强度。弹性模量E以总应变为0.1%时的割线斜率来度量。 铸铁压缩时的力学性能 铸铁压缩时的应力-应变曲线所示。 铸铁压缩时的抗压强度比拉伸时大4~5倍,破坏时破裂面与轴线成角,宜于作抗压构件。 塑性材料和脆性材料 延伸率的材料称为脆性材料。 屈服强度 对于没有明显屈服阶段的塑性材料,通常用材料产生0.2%的残余应变时所对应的应力作为屈服强度,并以表示,如图5-1-10所示。 强度条件 许用应力 材料正常工作容许采用的最高应力,由极限应力除以安全系数求得。 塑性材料 脆性材料 式中:为屈服强度;为抗拉强度;ns、nb为安全系数。 强度条件 构件的最大工作应力不得超过材料的许用应力。轴向拉压杆的强度条件为 强度计算的三大类问题: 强度校核 截面设计 确定许可荷载,再根据平衡条件,由计算。 轴向拉压杆的变形胡克定律 轴向拉压杆的变形 杆件在轴向拉伸时,轴向伸长,横向缩短;而在轴向压缩时,轴向缩短,横向伸长,如图5-1-11所示。 轴向变形 (5-1-8) 轴向线) 横向线) 胡克定律 当应力不超过材料比例极限时,应力与应变成正比,即 式中?E为材料的弹性模量。 或用轴力及杆件变形量表示为 式中:为杆的抗拉(压)刚度,表示抗拉压弹性变形的能力。 泊松比 当应力不超过材料的比例极限时,横向线应变与轴向线应变之比的绝对值为一常数,即 泊松比是材料的弹性常数之一,无量纲。 二、剪切 (一)考试大纲 剪切和挤压的实用计算;剪切面;挤压面;抗剪强度;挤压强度。 (二)考点主要内容 要求:  = 1 \* GB3 ①熟悉连接件与被连接件的受力分析;  = 2 \* GB3 ②准确判定剪切面与挤压面,掌握剪切与挤压的实用计算;  = 3 \* GB3 ③准确理解切应力互等定理的意义,了解剪切胡克定律及其应用。 剪切的概念及实用计算 剪切的概念 剪切的力学模型如图5-2-1所示。  = 1 \* GB3 ①受力特征:构件上受到一对大小相等、方向相反,作用线相距很近且与构件轴线垂直的力作用。  = 2 \* GB3 ②变形特征:构件沿内力的分界面有发生相对错动的趋势。  = 3 \* GB3 ③剪切面:构件将发生相对错动的面。  = 4 \* GB3 ④剪力:剪切面上的内力,其作用线与剪切面平行,用或表示。 剪切实用计算 名义切应力 假定切应力沿剪切面是均匀分布的。若为剪切面面积,为剪力,则名义切应力为 (5-2-1) 许用切应力 按实际的受力方式,用实验的方法求得名义剪切极限应力,再除以安全因数n。 剪切条件 剪切面上的工作切应力不得超过材料的许用切应力 (5-2-2) 挤压的概念及实用计算 挤压的概念  = 1 \* GB3 ①挤压:两构件相互接触的局部承压作用。  = 2 \* GB3 ②挤压面:两构件间相系接触的面。  = 3 \* GB3 ③挤压力:承压接触面上的总压力。 挤压实用计算 名义挤压应力 假设挤压力在名义挤压面上均匀分布,则名义挤压应力为 (5-2-3) 式中:Abs为名义挤压面面积。当挤压面为平面时,则名义挤压面面积等于实际的承压接触面面积;当挤压面为曲面时,则名义挤压面面积各取为实际承压接触面在垂直挤压力方向的投影面积,如图5-2-2所示。 键的名义挤压面面积 铆钉的名义挤压面面积为 许用挤压应力 根据直接实验结果,按照名义挤压应力公式计算名义极限挤压应力,再除以安全系数。 挤压强度条件 挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力,即 切应力互等定理剪切胡克定律 纯剪切  = 1 \* GB3 ①纯剪切:若单元体各个侧面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切。纯剪切引起的剪应变,如图5-2-3所示。  = 2 \* GB3 ②剪应变:在切应力作用下,单元体两相互垂直边间直角的改变量。单位为rad,无量纲。在材料力学中规定以单元体左下直角增大时,为正,反之为负。 切应力互等定理 在互相垂直的两个平面上,垂直于两平面交线的切应力,总是大小相等,且共同指向或背离这一交线),即 剪切胡克定律 当切应力不超过材料的剪切比例极限时,切应力与剪应变成正比,即 式中G为剪切弹性模量。 对各向同性材料,E、G、间只有二个独立常数,它们之间的关系为 三、扭转 (一)考试大纲 扭矩和扭矩图;圆轴扭转切应力;切应力互等定理;剪切胡克定律;圆轴扭转的强度条件:扭转角计算及刚度条件。 (二)考点主要内容 要求:  = 1 \* GB3 ①了解杆件产生扭转变形的受力特征与变形特征;  = 2 \* GB3 ②了解传动轴的外力偶矩计算,掌握求扭矩和作扭矩图的方法;  = 3 \* GB3 ③掌握横截面上切应力分布规律和切应力的计算;  = 4 \* GB3 ④掌握圆截面极惯性矩、抗扭截面系数计算公式。 扭转的概念 扭转的力学模型 扭转的力学模型如图5-3-1所示。  = 1 \* GB3 ①受力特征:杆两端受到一对力偶矩相等、转向相反、作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。  = 2 \* GB3 ②变形特征:杆件表面纵向线变成螺旋线,即杆件任意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。  = 3 \* GB3 ③扭转角:杆件任意两横截面间相对转动的角度。 外力偶矩的计算 轴所传递的功率、转速与外力偶矩间有如下关系: (5-3-1) (5-3-2) 式中:传递功率N的单位为千瓦(kW)或公制马力(,);转速n的单位为转每分(r/min),Me的单位为kN·m。 扭矩和扭矩图  = 1 \* GB3 ①扭矩:受扭杆件横截面上的内力,是一个横截面平面内的力偶,其力偶矩称为扭矩,用表示,见图5-3-2,其值用截面法求得。  = 2 \* GB3 ②扭矩符号:扭矩的正负号规定,以右手法则表示扭矩矢量,当矢量的指向与截面外向的指向一致时,扭矩为正,反之为负。  = 3 \* GB3 ③扭矩图:表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 圆杆扭转时的切应力及强度条件 横截面上的切应力 切应力分布规律 横截面上任一点的切应力,其方向垂直于该点所在的半径,其值与该点到圆心的距离成正比,见图5-3-3。 切应力计算公式 横截面上距圆心为的任一点的切应力 (5-3-3) 横截面上的最大切应力发生在横截面周边各点处其值为 (5-3-4) 切应力计算公式的讨论  = 1 \* GB3 ①公式适用于线弹性范围(≤),小变形条件下的等截面实心或空心圆直杆。  = 2 \* GB3 ②为所求截面上的扭矩。  = 3 \* GB3 ③Ip称为极惯性矩,Wt称为抗扭截面系数,其值与截面尺寸有关。 对于实心圆截面(图5-3-4(a)) (5-3-5) 对于空心圆截面(图5-3-4(b)) (5-3-6) 其中:。 圆杆扭转时的强度条件 强度条件:圆杆扭转时横截面上的最大切应力不得超过材料的许用切应力,即 ≤(5-3-7) 由强度条件可对受扭圆杆进行强度校核、截面设计和确定许可荷载三类问题的计算。 圆杆扭转时的扭转角计算及刚度条件 圆杆的扭转角计算 单位长度扭转角 (5-3-8) 式中:的单位为 扭转角 (5-3-9) 式中:的单位为 若长度LL内T、G、IP均为常量,则 (5-3-10) 公式适用于线弹性范围,小变形下的等直圆杆。表示圆杆抵抗扭转弹性变形的能力称为抗扭刚度。 圆杆扭转时的刚度条件 刚度条件:圆杆扭转时的最大单位长度扭转角不得超赤规定的许可值,即 由刚度条件,同样可对受扭圆杆进行刚度校核、截面设计和确定许可荷载三类问题的计算。 (三)例题分析 例题1:某传动轴,承受外力偶作用,轴材料的许用切应力为,试分别按 = 1 \* GB3 ①横截面为实心圆截面,直径为; = 2 \* GB3 ②横截面为的空心圆截面,外径为,内径为,确定轴的截面尺寸,并确定其重量比。 (A) (B) (C) (D) 答案:(D) 解析:1)横截面为实心圆截面.设轴的直径为,则 所以有 2)横截面为空心圆截面,设横截面的外径为,得 所以有 3)重量比较,由于两根轴的材料和长度相同,其重量之比就等于两者的横截面面积之比,利用以上计算结果得: 结果表明,在满足强度的条件下,空心圆轴的重量是实心圆轴重量的一半。 例题2:某传动轴,转速n=300 r/min(转/分),轮1为主动轮,输入的功率P1=50 kW,轮2、轮3与轮4为从动轮,输出功率分别为P2=10 kW,P3=P4=20 kW。 (1) 试画轴的扭矩图,并求轴的最大扭矩。 (2) 若将轮1与论3的位置对调,轴的最大扭矩变为何值,对轴的受力是否有利。 800 800 800 1 4 3 2 P4 P3 P2 P1 解:(1) 计算各传动轮传递的外力偶矩; (2) 画出轴的扭矩图,并求轴的最大扭矩; T(Nm) x (+) 318.3 1273.4 636.7 (-) (3) 对调论1与轮3,扭矩图为; T(Nm) x (+) 636.7 955 636.7 (-) 所以对轴的受力有利。 例题3:图示受扭圆杆,沿平面ABCD截取下半部分为研究对象,如图b所示。试问截面ABCD上的切向内力所形成的力偶矩将由哪个力偶矩来平衡? 解题分析:由切应力互等定理可知截面ABCD上的切向内力分布及其大小。该截面上切向内力形成一个垂直向上的力偶矩。在图b中,左右两个横截面上的水平切向内力分量形成垂直于截面ABCD的竖直向下的力偶矩,正好与截面ABCD上切向内力的合力偶矩平衡。 解:1、计算长为 l 的纵截面ABCD上切向内力的合力偶矩。 如图c所示,在纵截面上取一微面积 ,其上切向内力的合力即 微剪力对z轴的微力矩为 积分得到纵截面上切向内力对z轴的合力偶矩为 ,方向竖直向上。 2、计算两端横截面切向内力的水平分量形成的力偶矩 如图d所示,微面积上切向内力的水平分量为 右端横截面上剪力的水平分量为 左右两个横截面上水平剪力形成绕z轴的力偶矩为 ,竖直向下。 所以,截面ABCD上的切向内力所形成的力偶矩将由左右两个横截面上水平剪力形成的力偶矩平衡。 例题4:已知钻探机杆的外径D = 60 mm,内径d = 50 mm,功率P = 7.46 kW,转速n =180 r/min,钻杆入土深度l = 40 m,G = 80 GPa,[τ]= 40 MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的,试求:(1) 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M;(2) 作钻杆的扭矩图,并进行强度校核;(3) 求A、B两截面的相对扭转角。 解题分析:根据题意,此题为圆轴扭转问题。土壤对钻杆的阻力形成扭力矩作用在钻杆上,并沿钻杆长度方向均匀分布。 解:1、求阻力矩集度M 设钻机输出的功率完全用于克服土壤阻力,则有 单位长度阻力矩 2、作扭矩图,进行强度校核 钻杆的扭矩图如图c所示。最大扭矩出现在A截面,所以A截面为危险截面。其上最大切应力为 满足强度要求。 3、计算A、B两截面的相对扭转角 例题5:直径的钢圆杆,受轴向拉力作用时,在标距为的长度内伸长了。当其承受一对扭转外力偶矩时,在标距为的长度内相对扭转了的角度。试求钢材的弹性常数E,G和。 解: = 1 \* GB3 ①求弹性模量E  = 2 \* GB3 ②计算切变模量G, 由公式,求得  = 3 \* GB3 ③由公式计算泊松比 例题6:图示圆轴,已知,,;,;,;,,;试校核该轴的强度和刚度,并计算两端面的相对扭转角。 解: = 1 \* GB3 ①计算扭矩并作扭矩图 其扭矩见图。  = 2 \* GB3 ②计算切应力和强度校核 由于AB段内的扭矩最大,而BC段的直径小,因而不能直接确定最大切应力发生在哪一段截面上,需分别计算两段截面上最大切应力值。 AB段 BC段 满足强度要求。  = 3 \* GB3 ③刚度校核 进行刚度校核时,需计算最大单位扭转角 此轴不满足刚度条件。  = 5 \* GB3 ⑤计算两端面的相对扭转角 因AB、BC段上的扭矩和截面各自不变,要分别计算两段的相对扭转角,然后相加; 分析与讨论:  = 1 \* GB3 ①对截面、扭矩变化的轴必须计算出全轴中的最大切应力和最大单位扭转角,然后从强度和刚度分别考虑,才能保证轴安全正常工作。  = 2 \* GB3 ②计算相对扭转角时应注意分段,总扭转角为各段扭转角的代数和。各段的扭转角的正、负号,可由该段扭矩的正、负表示。  = 3 \* GB3 ③注意:阶梯状圆轴在两段连接处有应力集中现象,在以上计算中对此并未考虑。 例题7:图示圆截面轴,AB与BC段的直径分别为d1与d2,且d1=4d2/3,材料的切变模量 为G。若扭力偶矩M=1 kNm,许用切应力[τ] =80 MPa,单位长度的许用扭转角[θ]=0.5 0/m, 切变模量G=80 GPa, 试确定轴径; 试求轴内的最大切应力与截面C的转角; 若将BC段设计为空心的,内外径之比,则BC段实心与空心的用材量之比为多少? M l l M A C B 解:(1) 确定轴径  = 1 \* GB3 ①考虑轴的强度条件;  = 2 \* GB3 ②考虑轴的刚度条件; 综合轴的强度和刚度条件,确定轴的直径; (2) 求轴内的最大切应力与截面C的转角  = 1 \* GB3 ①画轴的扭矩图; 2M T x (+) M  = 2 \* GB3 ②求最大切应力; 比较得  = 3 \* GB3 ③求C截面的转角; (3)若将BC段设计为空心的,内外径之比,则BC段截面尺寸  = 1 \* GB3 ①考虑轴的强度条件;  = 2 \* GB3 ②考虑轴的刚度条件; 综合轴的强度和刚度条件,就取空心轴外径  = 3 \* GB3 ③比较BC实心与空心的用材量之比 轴的材料、长度相同,则质量比等于轴的横截面面积之比 分析与讨论: 切应力的分布规律知,实心轴圆心附近的切应力还很小,这部分材料没有充分发挥作用,空心轴可以提高材料的利用率。所以空心轴的重量比实心轴轻。 从截面几何性质分析,空心轴的材料分布离轴心愈远,其搞扭截面系数和极惯性矩愈大,从而提高了轴的搞扭强度和刚度。 但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折,还要注意加上成本和构造上的要求等因素。 五、弯曲 (一)考试大纲 梁的内力方程;剪力图和弯矩图;分布荷载、剪力、弯矩之间的微分关系;正应力强度条件;切应力强度条件;梁的合理截面;弯曲中心概念;求梁变形的积分法、叠加法。 (二)考点主要内容 要求: 弯曲内力  = 1 \* GB3 ①了解平面弯曲的概念,熟悉具有纵对称面的梁产生平面弯曲的条件;  = 2 \* GB3 ②熟练梁内剪力,弯矩的正负号规定;  = 3 \* GB3 ③熟练掌握用截面法求指定截面的剪力、弯矩;  = 4 \* GB3 ④掌握作用剪力图,弯矩图的基本方法——列出剪力方程和弯矩方程,然后,依据这些方程作图;  = 5 \* GB3 ⑤掌握荷载集度、剪力、弯矩之间的微分关系及应用于检查剪力图、弯矩图的正确性。 弯曲应力  = 1 \* GB3 ①了解中性轴的概念及其在截面上的位置;  = 2 \* GB3 ②掌握横截面上的正应力的分布规律及其计算公式,明确弯曲正应力公式的适用条件;  = 3 \* GB3 ③熟悉工程上常用截面(圆形,矩形)的轴惯性矩、抗弯截面的计算公式;熟悉中性轴为截面对称轴或非对称轴时的正应力强度条件;  = 4 \* GB3 ④熟悉常见截面切应力的分布规律及切应力计算公式;  = 5 \* GB3 ⑤了解梁的合理截面形状,了解弯曲中心的概念。 弯曲变形  = 1 \* GB3 ①熟悉列出梁挠曲线近似微分方程的步骤;  = 2 \* GB3 ②用积分法求解潍的位移时,能正确写出梁的边界条件和连续条件;  = 3 \* GB3 ③利用梁在简单荷载下的变形结果,会用叠加法求梁的位移。 弯曲内力 平面弯曲的概念 弯曲变形是杆件的基本变形之一。以弯曲为主要变形的杆件通常称为梁。 弯曲变形特征 任意两横截面绕垂直杆轴线的轴作相对转动,同时杆的轴线也弯成曲线。 平面弯曲 荷载作用(外力偶作用面或横向力与梁轴线组成的平面)与弯曲平面(即梁轴线弯曲后所在平面)相平行或重合的弯曲,如图5-5-1所示。 图5-5-1 产生平面弯曲的条件如下。  = 1 \* GB3 ①梁具有纵对称面时,只要外力(横向力或外力偶)都作用在此纵对称面内。  = 2 \* GB3 ②对非对称截面梁,纯弯曲时,只要外力偶作用在与梁的形心主惯性平面(即梁的轴线与其横截面的形心主惯性轴所构成的平面)平行的平面内;横力弯曲时,横向力必须通过横截面的弯曲中心并在与梁的形心主惯性平面平行的平面内。 梁横截面上的内力分量——剪力与弯矩 剪力与弯矩  = 1 \* GB3 ①剪力:梁横截面上切向分布内力的合力,称为剪力,以表示。  = 2 \* GB3 ②弯矩:梁横截面上法向分布内力形成的合力偶矩,称为弯矩,以M表示。  = 3 \* GB3 ③剪力与弯矩的符号:考虑梁微段dx,使右侧截面对左侧截面产生向下相对错动的剪力为正,反之为负;使微段产生凹向上的弯曲变形的弯矩为正,反之为向,如图5-5-2(b)所示。 由截面法可知以下两点。  = 1 \* GB3 ①横截面上的剪力,其数值等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力在横截面方向的投影代数和;且左侧梁上向上的外力或右侧梁上向下的外力引起正剪力,反之则引起负剪力,见图5-5-2(a)。  = 2 \* GB3 ②横截面上的弯矩,其数值等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力对该截面形心的力矩代数和;且向上外力均引起正弯矩,左侧梁上顺时针转向的外力偶及右侧梁上逆时针转向的外力偶引起正弯矩,反之则产生负弯矩,如图5-5-2(a)所示。 剪力方程与弯矩方程  = 1 \* GB3 ①剪力方程:表示沿杆轴各横截面上剪力随截面位置变化的函数,称为剪力方程,表示为  = 2 \* GB3 ②弯矩方程:表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的函数,称为弯矩方程,表示为 剪力图与弯矩图  = 1 \* GB3 ①剪力图:表示沿杆轴各横截面上剪力随截面位置变化的图线,称为剪力图。  = 2 \* GB3 ②弯矩图:表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的图线,称为弯矩图。 荷载集度与剪力、弯矩间的关系及应用 q、、M间的微分关系 设荷载集度q(x)为截面位置x的连续函数,且规定以向上为正,则有 (5-5-1) (5-5-2) (5-5-3) 应用  = 1 \* GB3 ①校核剪力图、弯矩图的正确性。根据一阶导数的几何意义,式5-5-1和式5-5-2表明剪力图上某点的切线斜率等于梁上相应点处的荷载集度,弯矩图上某点的切线斜率等于梁上相应截面上的剪力。 由式5-5-3的几何意义可根据M(x)对x二阶导数的正负,定出M(x)图的凸凹向。若q(x)0,则M图为上凸的曲线,则M图为下凹的曲线,则M图为直线 ②利用微分关系作剪力图和弯矩图。由式5-5-1可得 (5-5-4) 即截面B上的剪力与截面A上的剪力之差等于梁上AB间荷载集度q(x)图的面积,但两截面之间必须无集中外力作用。 同理由式5-5-2可得 (5-5-5) 即截面B上的弯矩与截面A上的弯矩之差等于梁上AB间剪力图的面积,但两截面之间必须无集中力偶作用。 于是可由式5-5-1、式5-5-2,根据梁上已知的荷载集度,判定剪力、弯矩图的图线或由截面法,确定控制截面的剪力、弯矩值,即可绘制剪力、弯矩图。 特殊截面上的剪力、弯矩值  = 1 \* GB3 ①在集中力作用的截面处,图有突变,M图形成尖角。突变值等于集中力的大小,突变方向与集中力作用方向一致。  = 2 \* GB3 ②在集中力偶作用处,图无变化,但M图有突变。其突变值等于该力偶之矩,突变方向看该力偶对后半段梁的影响,即该力偶对后半段梁产生正弯矩,则向正方向突变,否则反之。 现将本节中有关弯矩、剪力与荷载间的关系以及剪力图的弯矩图的一些特征汇总整理为表5-5-1,以供参考。 表5-5-1几种荷载下剪力图与弯矩图的特征 一段梁上受外力的情况向下的均布荷载无荷载集中力 集中力偶剪力图上的特征向下方倾斜的直线水平直线,一般为在C处有突变在C处无变化弯矩图上的特征下凸的二次抛物线一般为斜直线在C处有尖角在C处有突变最大弯矩所在截面在的截面在剪力变号的截面在紧靠C点的某一侧的截面弯曲正应力 弯曲正应力和正应力强度条件 纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力时的弯曲,称为纯弯曲。 中性层与中性轴  = 1 \* GB3 ①中性层:杆件弯曲变形时既不伸长也不缩短的一层。  = 2 \* GB3 ②中性轴:中性层与横截面的交线,即横截面上正应力为零的各点的连线 ③中性轴位置:当杆件发生平面弯曲,且处于线弹性范围时,中性轴通过截面形心,且垂直于荷载作用平面。  = 4 \* GB3 ④中性层的曲率:杆件发生平面弯曲时,中性层(或杆轴的曲率与弯矩间的关系为 式中:为变形后中性层(或杆轴)的曲率半径;EIz为杆的抗弯刚度,轴z为横截面的中性轴。 平面弯曲杆件横截面上的正应力  = 1 \* GB3 ①分布规律:正应力的大小与该点至中性轴的垂直距离成正比,中性轴一侧为拉应力,另一侧为压应力,如图5-5-3。  = 2 \* GB3 ②计算公式: 任一点应力 (5-5-7) 最大应力 (5-5-8) 式中:M为所求截面的弯矩;Iz截面对中性轴的惯性矩;Wz为抗弯截面系数。 ,它是一个只与横截面的开关和尺寸有关的几何量。对于矩形截面(见图5-5-4(a)): 对于圆形截面(见图5-5-4(b)) 讨论:  = 1 \* GB3 ①公式适用于线弹性范围且材料在拉伸和压缩时弹性模量相等的情况。  = 2 \* GB3 ②在纯弯曲时,横截面在弯曲变形后保持平面,公式为精确解;横力弯曲时,由于切应力在存在,横截面发生翘曲,但精确研究指出,工程实际中的梁,只要跨度与截面高度之比,纯弯曲时的正应力公式仍适用。 梁的正应力强度条件 强度条件:梁的最大工作正应力不得超过材料的许用正应力,即 (5-5-9) 注意,当梁内,且材料的时,梁的拉伸与压缩强度均就得到满足。 弯曲切应力和切应力强度条件 矩形截面梁的切应力 两个假设: = 1 \* GB3 ①切应力方向与截面的侧边平行; = 2 \* GB3 ②沿截面宽度切应力均匀分布(见图5-5-5)。  = 1 \* GB3 ①计算公式 (5-5-10) 式中:为横截面上的剪力;b为横截面的宽度;Iz为整个横截面对中性轴的惯性矩;为横截面上距中性轴为y处横线一侧的部分截面对中性轴的静矩。  = 2 \* GB3 ②最大切应力:发生在中性轴处 (5-5-11) 其它常用截面图形的最大切应力 工字形截面 (5-5-12) 式中:d为腹板厚度;可查型钢表。 圆形截面 (5-5-13) 环形截面 (5-5-14) 最大切应力均发生在中性轴上。 切应力强度条件 梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力,即 (5-5-15) 式中:为全梁的最大剪力;为中性轴一边的横截面面积对中性轴的静矩;b为横截面在中性轴处的宽度;Iz为整个横截面对中性轴的惯性矩。 梁的合理截面 梁的强度通常是由横截面上的正应力控制的。由弯曲正应力强度条件,可知,在截面积A一定的条件下,截面图形的抗弯截面系数愈大,梁的承载能力就愈大,故截面就愈合理。因此就而言,对工字形、矩形和圆形三种形状的截面,工字形最为合理,矩形次之,圆形就最差。此外对于的塑性材料,般采用对称于中性轴的截面,使截面上、下边缘的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。对于的脆性材料,一般采用不对称于中性轴的截面如T形、槽形等,使最大拉应力和最大应力同时达到和,如图5-5-6所示。 弯曲中心的概念 在横向力作用下,梁分别在两个形心主惯性平面xy和xz内弯曲时,横截面上剪力,和作用线的交点,称为截面的弯曲中心,也称为剪切中心。 当梁上的横向力不通过截面的弯曲中心时,梁除了发生弯曲变形外还要发生扭转变形。 弯曲中心是截面几何性质之一,仅与截面的几何开关有关,而与荷载大小和材料性质无关。 若截面具有一对称轴,则弯曲中心必在截面的对称轴上。若截面具有两个对称轴,其交点即为弯曲中心。T形、L形等狭长矩形组成的截面,两个狭长矩形中线的交点即为截面的弯曲中心。 弯曲变形 梁的挠度与转角 挠曲线 在外力作用下,梁的轴线由直线变为光滑的弹性曲线,梁弯曲后的轴线称为挠曲线。 在平面弯曲下,挠曲线为梁形心主惯性平面内的一条平面曲线)。 挠度与转角 梁弯曲变形后,梁的每一个横截面都要产生位移,它包括三部分。  = 1 \* GB3 ①挠度:梁横截面形心在垂直于轴线方向的线位移,称为挠度,记作。沿梁轴各横截面挠度的变化规律,即梁的挠曲线 ②转角:横截面相对原来的位置绕中性轴所转过的角度,称为转角,记作。小变形情况下。  = 3 \* GB3 ③其他:横截面形心沿梁轴线方向的位移,小变形条件下可忽略不计。 挠曲线近似策分方程 在线弹性范围、小变形条件下,挠曲线所示坐标系下建立的。挠度向下为正,转角顺时针转为正。 积分法计算梁的位移 根据挠曲线,积分两次,即得梁的转角方程和挠度方程,即由 式中积分常数C、D可由梁的边界条件确定。当梁的弯矩方程需分段列出时,挠曲线微分方程也需分段建立,分段积分。于是全梁的积分常数数目将为分段数目的两倍。为了确定全部积分常数,除利用边界条件外,还需利用分段处挠曲线的连续条件(在分界点处左、右两段梁的转角和挠度均应相等)。 用叠加法求梁的位移 叠加原理 几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和。 叠加原理的适用条件 叠加原理仅适用于线性函数。要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数,必须满足:  = 1 \* GB3 ①材料为线 ②梁的变形为小变形。  = 3 \* GB3 ③结构几何线性。 叠加法的特征  = 1 \* GB3 ①各荷载同时作用下挠度、转角等于单独作用下挠度转角的总和,应该是几何和,同一方向的几何和即为代数和。  = 2 \* GB3 ②梁在简单荷载作用下的挠度、转角应为已知或可查手册。  = 3 \* GB3 ③叠加法适宜于求梁某一指定截面的挠度和转角。

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